Sistem_lin_uravnenii

1.Системы линейных уравнений.

Система m линейных уравнений с n неизвестными x1; x2; : : : ; xn имеет

произвольные числа, которые называются свободными членами уравнениями.

Решением системы уравнений (1.1) называется набор n-чисел

x1 = 1; x2 = 2; : : : ; xn = n, при подстановке которых в систему (1.1)

каждое уравнение данной системы превращается в тождество. Системы линейных уравнений деляться на: совместные, т.е. систе-

ма (1.1) имеет хотя бы одно решение; несовместные, т.е. система (1.1) не имеет решения; однородные, т.е. в системе (1.1) все bi = 0; i = 1; 2; : : : ; m; неоднородные, т.е. в системе (1.1), есть хотя бы одно bi 6= 0; i = 1; 2; : : : ; m.

В свою очередь совместные системы линейных уравнений делятся на определенные, т.е. система (1.1) имеет единственное решение, и неопределенные, т.е. система (1.1) имеет больше одного решения.

Системы уравнений вида (1.1) называются эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Чтобы привести исходную систему к эквивалентному виду используют элементарные преобразования, к которым относятся:

1)Вычеркивание нулевой строки, т.е. уравнения, в котором все коэффициенты перед неизвестными равными нулю.

2)Перестановка уравнений или слагаемых aijxj в уравнениях.

3)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответственно обеих частей другого уравнения этой системы, умноженного на любое число.

4)Удаление уравнений, являющихся линейными комбинациями других уравнений системы.

1

Любую систему вида (1.1) можно представить в матричной форме

называется расширенной матрицей.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы.

2.Метод обратной матрицы.

Пусть число уравнений системы (1.1) равно число переменных, т.е. m = n. В этом случае матрица системы A является квадратной матри-

цей. Пусть матрица A невырожденная, т.е. detA 6= 0. Тогда матричный метод решения системы линейных уравнений

заключается в следующем:

1) умножим слева обе части уравнения (2.3) на обратную матрицу

A 1:

A 1 A X = A 1 B:

2

где уравнение (2.4) решение системы.

Возможны следующие случаи матричных уравнений:

1. Для уравнения вида A X = B, решение имеет вид

X = A 1 B:

2. Для уравнения вида X A = B, решение имеет вид

X= B A 1:

3.Для уравнения вида A X C = B, решение имеет вид

X = A 1 B C 1:

Пример. Найдите решение системы линейных уравнений матрич- ным методом:

8

< x1 x2 + x3 = 3;

2x1 + x2 + x3 = 11;

:x1 + x2 + 2x3 = 8:

3.Метод Крамера.

Пусть 4 определитель матрицы системы A, а 4j определитель, полученный из определителя 4, заменной j-го столбца столбцом свобод-

ных членов B. Тогда если 4 =6 0, то система линейных уравнений (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам:

4j

xj = 4 ; j = 1; 2; : : : ; n; (3.5)

ãäå

Пример. Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера:

8

< x1 x2 + x3 = 3;

2x1 + x2 + x3 = 11; : x1 + x2 + 2x3 = 8:

3

4.Метод Гаусса.

Метод Гаусса это метод последовательного исключения переменных, заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система линейных уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого или треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру переменных, находятся все остальные.

Рассмотрим систему (1.1), в которой m уравнений и n неизвестных.

Метод состоит из двух ходов:

Прямой ход.

1 шаг. Предположим, что в системе (1.1) a11 6= 0. Умножим первое

уравнению системы (i = 2; 3; : : : ; m). Тем самым исключим пере-

менную x1 из всех уравнений системы начиная со 2-ãî. В результате получим

a1

2 шаг. Предположим, что a122 6= 0. Умножим второе уравнение на a1i2

22

и прибавим полученное уравнение к i-тому уравнению системы

(i = 3; 4; : : : ; m). Тем самым исключим переменную x2 èç âñåõ óðàâ- нений системы начиная с 3-го. В результате получим

>

>

>

>

>

:

4

r-ый шаг. Продолжая процесс последовательного исключения перемен- íûõ x3; x4; : : : ; xr 1, получаем систему:

>

>

>

>

>

:

(4.8) Последние (m r) уравнений появятся, если соответствующие урав-

нения исходной системы представляют собой линейную комбинацию других уравнений этой системы.

Если хотя бы одно из чисел br 1; : : : ; br 1

r+1 m не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво и система (1.1) несовместна.

Таким образом, для любой совместной системы числа brr+11; : : : ; brm 1 в системе (4.8) равны нулю. В этом случае они являются тождествами и могут не приниматься во внимание при решении системы (1.1).

После отбрасивания уравнений возможны два случая:

1)r = n и система имеет треугольный вид;

2)r < n и система имеет ступенчатый вид.

Формулы прямого хода:

i = m + 1; m; j = m + 1; n; m = 1; n 1:

Обратный ход.

Из n-го уравнения системы (4.8) находим xn, из (n 1)-го уравненияxn 1, и так далее до x1.

5

Формулы обратного хода:

bn 1

xn = n ;

n

annn 1

Пример. Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера:

8

< x1 x2 + x3 = 3;

2x1 + x2 + x3 = 11; : x1 + x2 + 2x3 = 8:

5. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса.

1. Дополняем матрицу A до расширенной единичной матрицей E:

2. С помощью метода Гаусса, т.е. элементарных преобразований над строками приведем матрицу к виду:

3. С помощью метода Жордана-Гаусса, т.е. элементарных преобразований над строками приведем матрицу из 2 к виду:

0: : : 1 cn1 : : : cnn

4.Тогда обратная матрица будет иметь вид:

6

Пример. Найдите матрицу, обратную для матрицы:

6.Системы линейных однородных уравнений.

Система m линейных уравнений с n переменными называется си-

стемой линейных однородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю, т.е.

>

>

>

>

>

>

:

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет хотя бы одно тривиальное решение (0; 0; : : : ; 0).

Если в системе (6.9) m = n и ее определитель отличен от нуля, то

система имеет только нулевое решение, как это следует из теоремы Крамера.

Нулевое решение система (6.9) будет иметь в том случае, если m < n или при m = n и detA = 0.

Теорема. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы коэффициентов при переменных меньше числа переменных, т.е. при rangA = 0.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают свойствами:

1.Åñëè x1; x2; : : : ; xn решения системы (6.9), то x1; x2; : : : ; xn

также решение этой системы, где = const.

2.Åñëè x1; x2; : : : ; xn è y1; y2; : : : ; yn решения системы (6.9), то при любых C1 è C2 их линейная комбинация C1x1+C2y1; C1x2+C2y2; : : : ; C1xn + C2yn также решение данной системы.

Теорема. Линейная комбинация частных нетривиальных решений однородной системы также является решением этой системы.

Система линейно независимых решений x1; x2; : : : ; xk называется фун-

даментальной, если каждое решение системы (6.9) является лиíåéной комбинацией решений x1; x2; : : : ; xk, ãäå xi = (x1i; : : : ; xni)T ; i = 1; k.

7

Система x1; x2; : : : ; xn называется линейно независимой, если из равенства

1x1 + 2x2 + : : : + nxn = 0; i 2 R

следует, что все коэффициенты

1 = 2 = : : : = n = 0;

в противном случае линейно зависимой.

Теорема. Если ранг r матрицы коэффициентов при переменных си-

стемы линейных однородных уравнений (6.9) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений системы (6.9) состоит

из (n r) решений.

Общее решение системы (6.9) имеет вид:

1x1 + 2x2 + : : : + kxk

ãäå x1; x2; : : : ; xk любая фундаментальная система решений;1; 2; : : : ; k произвольные числа;

k = n r; где n число неизвестных; r ранг.

Теорема. Общее решение системы (1.1) m линейных уравнений с n

переменными равно сумме общего решения соответствующей ей системы однородных линейных уравнений (6.9) и произвольного частного решения системы (1.1):

x = x0 + 1x1 + : : : + nxn;

ãäå x è x0 общее и частное решение (1.1);

x1; x2; : : : ; xn фундаментальная система решений (6.9).

Для нахождения фундаментальной системы решений системы (6.9)

åår основных переменных выражают через свободные переменные. Затем поочередно заменяют (n r) свободных переменных элемента-

ми каждой строки невырожденной квадратной матрицы порядка n r,

например единичной En r.

Пример. Найдите фундаментальную систему решений для системы линейных однородных уравнений:

8

<2x1 x2 + x3 x4 = 0 x1 + 2x2 2x3 + 3x4 = 0

: 3x1 + x2 x3 + 2x4 = 0

Пример. Найдите общее решение системы линейных уравнений:

8

<2x1 x2 + x3 x4 = 5

x1 + 2x2 2x3 + 3x4 = 6

: 3x1 + x2 x3 + 2x4 = 1

8

7.Задания для самостоятельной работы.

1. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

2. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

3. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

4. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

5. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

6. Найдите обратную матрицу методом Гаусса:

7. Решите матричное уравнение:

9

8. Решите матричное уравнение:

9. Решите матричное уравнение:

11. Решите систему уравнений методом Крамера:

8

<x1 x2 + x3 = 6; x1 2x2 + x3 = 9;

:x1 4x2 2x3 = 3:

12.Решите систему уравнений методом Крамера:

8

< 3x1 + x2 + 3x3 = 2; 5x1 2x2 + 2x3 = 1;

:2x1 + 2x2 + 3x3 = 1:

13.Решите систему уравнений методом Крамера:

8

> 7x1 + 6x2 + 3x3 + 7x4 = 3;

>

< 3x1 + 5x2 + 7x3 + 2x4 = 1; > 5x1 + 4x2 + 3x3 + 5x4 = 1;

>

:5x1 + 6x2 + 5x3 + 4x4 = 2:

14.Решите систему уравнений методом Крамера:

8

> 2x1 + 5x2 + 4x3 + 3x4 = 19;

>

< x1 x2 + 2x3 + x4 = 6;

> x1 + x2 + 2x3 3x4 = 10;

>

: 4x1 + 6x2 + x3 2x4 = 12:

10