Лекция 12. Предел функции

Лекция 12. Предел функции.

12.1. Определения предела функции.

Пусть задана функция , определённая на множестве . Пусть имеется точка a, быть может и не принадлежащая , но такая, что в любой -окрестности точки a имеются точки множества , отличные от a. Например: , точка a не принадлежит , но любая -окрестность содержит точки, принадлежащие и отличные от a.

Определение 12.1 (определение предела функции по Гейне). Число b называется пределом (или предельным значением) функции в точке a (или при ), если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к a и состоящей из чисел , отличных от a, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу b.

Определение 12.2 (определение предела функции по Коши). Число b называется пределом функции в точке a, если для любого сколь угодно малого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента x, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство .

Обозначается предел функции следующим образом:

или при .

♦ Утверждение 12.1. Определения 12.1 и 12.2 эквивалентны.

☼ Замечание 12.1. Элементы последовательности должны быть отличны от a: функция может быть не определена в точке a. Определение 12.1 явно содержит это требование, в определении 12.2 неравенство означает . ☼

 Пример 12.1. . 

☼ Замечание 12.2. Функция может иметь в точке a только один предел, так как имеется единственный предел последовательности в определении 12.1, а определение 12.2 эквивалентно определению 12.1. ☼

 Пример 12.2. 1) . , так как любая последовательность , сходящаяся к числу a, порождает последовательность .

2) . , так как последовательности и совпадают.

3) – функция Дирихле, – не имеет предела: для рациональных чисел при , для иррациональных при . Это противоречит определению 12.1. 

Определение 12.3. Число b называется правым (левым) предельным значением функции в точке , если для любой последовательности значений аргумента , сходящейся к a, элементы которой больше (меньше) a, соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначения: или для правого предельного значения,

или для левого предельного значения.

 Пример 12.3. Для функции правое предельное значение и левое предельное значение . 

♦ Утверждение 12.2. Если в точке a правое и левое предельные значения функции равны, то в точке a существует предельное значение этой функции, равное указанным односторонним предельным значениям.

Доказательство. Пусть последовательность : ( для любого n). Пусть подпоследовательность состоит из всех , а подпоследовательность из всех . По условию: : ; , ; , . Так как и , то есть неравенствами охвачены все элементы , то при всех выполняется неравенство . ■

Определение 12.4. Число b называется пределом функции при , если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к b.

Обозначение: .

Определение 12.5. Число b называется предельным значением функции при стремлении аргумента x к положительной (отрицательной) бесконечности, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность сходится к b.

Обозначение: .

♦ Теорема 12.1 (критерий Коши существования предела функции в точке a). Для того, чтобы функция имела в точке a конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы в точке a функция удовлетворяла условию Коши: для любого сколь угодно малого найдется такое, что для любых двух значений аргумента и , удовлетворяющих условиям ; , справедливо неравенство .

12.2. Арифметические операции над функциями, имеющими предельные значения.

Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке a, приводят к функциям, также имеющим предел в точке a.

♦ Теорема 12.2. Пусть две функции и заданы на одном и том же множестве и имеют в точке a пределы, равные b и c. Тогда

,

,

.

Доказательство. Пусть – произвольная, сходящаяся к а последовательность значений аргумента функций и . Соответствующие последовательности и значений этих функций имеют пределы b и c. Но тогда, в силу теорем 9.3-9.5, последовательности , и при имеют пределы, соответственно равные , и . Согласно определению 12.1 предела функции, это означает, что , , . ■

♦ Утверждение 12.3. Многочлен степени n , где , имеет предел в любой точке , причём этот предел равен частному значению многочлена в точке a.

Доказательство: Так как , , то и . ■

♦ Утверждение 12.4. Рациональная дробь (частное ) имеет предел в любой точке , не являющейся корнем её знаменателя , причём

.

12.3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Определение 12.6. Функция называется бесконечно малой в точке (при ), если .

Например, , где , – бесконечно малая функция в любой точке , в силу утверждения 12.3:

.

☼ Замечание 12.3. Если , то – бесконечно малая в точке a. Отсюда следует специальное представление функции , где . Говорят, что функция асимптотически равна b при . ☼

Определение 12.7. Функция называется бесконечно большой в точке справа (слева), если для любой последовательности : при , (), соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью определённого знака.

Например, функция является бесконечно большой при , .

Возможны ситуации и для случая односторонних пределов:

; .

Рассмотрим функцию вблизи точки . Так как она определена лишь при , то вблизи её можно исследовать только при : . То есть функция – положительная бесконечно большая при .

12.4. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Определение 12.8. Пусть и – две бесконечно малые в точке функции и пусть существует . Если , то – бесконечно малая более высокого порядка, чем . Если , то и – бесконечно малые одного порядка. Если , то и – эквивалентные бесконечно малые.

В качестве стандартной функции сравнения берут функцию .

Говорят, что бесконечно малая функция имеет порядок малости m, если .

Используется следующая символика: ( равно o малое от ), если .

 Пример 12.4. 1) и – бесконечно малые одного порядка при , так как .

2) и – эквивалентные бесконечно малые при , так как .

3) и имеют одинаковый порядок роста при справа и слева, так как . 

Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.

Определение 12.9. Пусть и – бесконечно большие в точке справа функции одного знака: , . Если , то имеет более высокий порядок роста в точке a справа, чем . Если , то и имеют в точке a справа одинаковый порядок роста. Если , то и – эквивалентные бесконечно большие функции.

Таковы же правила сравнения бесконечно больших функций и при .

 Пример 12.5. 1) , . Так как , то – бесконечно большая более низкого порядка, чем . А , поэтому – бесконечно большая более высокого порядка, чем .

2) , . – таким образом, и – бесконечно большие одного порядка (один порядок роста).

3) , . Здесь – бесконечно большая второго порядка по отношению к .

Таким образом, при вычислении предела отношения члены отношения можно заменять на эквивалентные. 

 Пример 12.6. 1) .

2) .

3) .

Таким образом, если , – многочлены степеней m и k соответственно, то где а – отношение коэффициентов при старших степенях многочленов. 

12.5. Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами.

♦ Теорема 12.3. 1) Если функция – бесконечно малая при , то функция является бесконечно большой при .

2) Если функция – бесконечно большая при , то функция является бесконечно малой при .

Доказательство. 1) Пусть при – бесконечно малая, то есть . Таким образом, , отсюда , где , . Получаем, что функция – бесконечно большая.

2) Доказательство проводится аналогичным образом. ■

 Пример 12.7. 1) при – бесконечно малая, а – бесконечно большая величина. При функция – бесконечно большая, а – бесконечно малая.

2) при – бесконечно малая, а – бесконечно большая.

3) при – бесконечно большая, а – бесконечно малая. 