Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ульяновский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Лекция 13. Замечательные пределы

.doc

Скачиваний:

249

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

181.76 Кб

Скачать

☆

Лекция 13. Замечательные пределы.

13.1. Первый замечательный предел.

♦ Теорема 13.1 (о пределе промежуточной функции). Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях x) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел A при , то функция имеет тот же предел A.

Доказательство. Пусть при . Это означает, что для любого найдётся число такое, что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства и или , . Так как по условию , то , то есть и это означает, что . ■

♦ Теорема 13.2 (первый замечательный предел).

. (13.1)

Доказательство. Рассмотрим круг радиуса R с центром в точке O (рис. 13.1). Пусть OB – подвижный радиус, образующий угол x с осью OA. Площадь треугольника AOB меньше площади сектора AOB, которая в свою очередь меньше площади треугольника AOC, то есть

Рис. 13.1.

Таким образом,

Функции и чётные, поэтому полученные неравенства справедливы и при . При переходе к пределу при получим , и на основании теоремы 13.1 предел промежуточной функции . ■

 Пример 13.1. 1) .

2) . 

13.2. Второй замечательный предел.

Функция при и (где х в отличие от натурального n «пробегает» все значения числовой оси) имеет предел, равный числу е:

Этот предел называется вторым замечательным пределом.

Если положить , тогда . При и получаем

Число е называется числом Эйлера или неперовым числом, график функции получил название экспоненты (рис. 13.2). Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами, обозначаются . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии, анализ таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и т.п.