Лекция 10. Свойства последовательностей
.DOCЛекция 10. Свойства последовательностей.
10.1. Монотонные последовательности.
Определение 10.1. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если справедливо неравенство () для всех . Если неравенства строгие – последовательность называется возрастающей (убывающей).
Определение 10.2. Последовательность называется монотонной, если она является либо неубывающей, либо невозрастающей; строго монотонной – если она является возрастающей или убывающей.
♦ Утверждение 10.1. Невозрастающие (убывающие) последовательности ограничены сверху, неубывающие (возрастающие) – снизу.
♦ Теорема 10.1. Если неубывающая (невозрастающая) последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Доказательство. Рассмотрим случай неубывающей и ограниченной сверху последовательности . Так как множество всех элементов последовательности ограничено сверху, то существует . По определению следует, что . Таким образом, или , .
По определению неубывающей последовательности при , но тогда , то есть , при . Имеем . Получаем, что сходится и имеет пределом .
Аналогично, доказывается факт, что невозрастающая и ограниченная последовательность сходится к . ■
☼ Замечание 10.1. Условие ограниченности монотонной последовательности представляет собой необходимое и достаточное условие её сходимости. ☼
♦ Утверждение 10.2. Всякая монотонная ограниченная последовательность сходится.
☼ Замечание 10.2. Отметим, что и для всех элементов неубывающей ограниченной сверху и невозрастающей ограниченной снизу последовательностей.
Заметим также, что не всякая сходящаяся последовательность монотонна, например: . ☼
10.2. Число Эйлера е.
Рассмотрим последовательность . Покажем, что она является строго возрастающей и ограниченной. Применив формулу бинома Ньютона, получим:
,
.
При замене n на n+1 каждая скобка вида увеличивается (так как ) и добавляется одно положительное слагаемое. Поэтому и, следовательно, – строго возрастающая последовательность. Докажем её ограниченность.
Учитывая, что (k=1,2,…,n–1) и что (n=3,4,…) получаем:
.
Для справедливо неравенство , но тогда .
Используем формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии и получим, что . Таким образом, , последовательность – ограниченная, согласно утверждению 10.2 она имеет конечный предел. Этот предел определяет широко используемое в математике число е, которое называется эйлеровым числом:
.
Можно показать, что е – иррациональное число. Мы показали, что 2<e<3. С точностью до число е=2,718281828459045. Обычно в вычислениях используют е2,72.
Определение 10.3. Бесконечную последовательность сегментов , , , назовём стягивающейся системой сегментов, если , и .
♦ Теорема 10.2. У всякой стягивающейся системы сегментов существует, и притом единственная, точка с, принадлежащая всем сегментам этой системы.
Доказательство. Сначала докажем существование точки с.
Пусть – неубывающая последовательность; – невозрастающая последовательность. Т.к. обе последовательности сходятся, то и последовательность также сходится, . Обозначим общий предел , причём , так как . То есть с существует и принадлежит всем сегментам.
Докажем теперь единственность точки с. Пусть точка d>c принадлежит всем сегментам. Тогда отрезок тоже принадлежит всем сегментам и т.к. , то , следовательно, с=d. Таким образом, точка, принадлежащая всем сегментам системы единственна. ■
10.3. Произвольные последовательности.
Рассмотрим и произвольную возрастающую последовательность , ().
Выберем из элементы с номерами и расположим их в порядке возрастания номеров. Полученную таким образом новую последовательность принято называть подпоследовательностью исходной последовательности . Если – подпоследовательность сама есть последовательность. Ясно, что .
♦ Утверждение 10.3. Если последовательность сходится к пределу а, то любая её подпоследовательность сходится к тому же самому пределу а.
♦ Утверждение 10.4. Если все подпоследовательности некоторой последовательности сходятся, то все они сходятся к одному и тому же пределу а (к этому же пределу а сходится и вся последовательность).
♦ Утверждение 10.5. Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности представляет собой также бесконечно большую последовательность.
Определение 10.4. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов этой последовательности.
Определение 10.5. Точка х бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности , если из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к пределу х.
♦ Утверждение 10.6. Определения 10.4 и 10.5 эквивалентны.
Доказательство. Пусть в любой -окрестности точки х содержится бесконечно много элементов . Рассмотрим совокупность -окрестностей точки х, для которых последовательно равно . В первой из этих окрестностей выберем элемент , во второй , где и т.д.
, где .
Этот процесс будем продолжать неограниченно, т.к. в -окрестности точки x лежит бесконечно много элементов последовательности . В результате мы получим подпоследовательность последовательности , которая сходится к x, т.к. . ■
♦ Лемма 10.1. Каждая сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с пределом этой последовательности.
Доказательство. Пусть сходится: , тогда а – предельная точка, т.к. любая подпоследовательность имеет предел а при .
Докажем единственность предельной точки a методом от противного.
Пусть b – предельная точка, тогда подпоследовательность при , но любая подпоследовательность имеет предел а и, таким образом, b=a. ■
Пример 10.1. Последовательность имеет две предельные точки 0 и 2, то есть предела не имеет.
♦ Теорема 10.3 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Т.к. последовательность ограничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку x. В таком случае, из этой последовательности можно выделить подпоследовательность такую, что . ■
10.4. Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности.
Определение 10.6. Последовательность называется фундаментальной, если для такой, что для всех и для всех натуральных p справедливо неравенство: .
♦ Теорема 10.4 (критерий Коши сходимости последовательности). Для того чтобы последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть сходится и x – её предел. Тогда : : .
Для и – фундаментальная.
2) Достаточность. Пусть – фундаментальная, то есть она ограничена.
Доказывается равенство нижнего и верхнего предела, то есть последовательность сходится. ■