Лекция 08. Числовые последовательности

Лекция 8. Числовые последовательности.

Определение 8.1. Если каждому значению ставится в соответствие по определённому закону некоторое вещественное число x_n, то множество занумерованных вещественных чисел

– сокращённая запись , (8.1)

будем называть числовой последовательностью или просто последовательностью.

Отдельные числа x_n  элементы или члены последовательности (8.1).

Последовательность может быть задана формулой общего члена, например так: или . Последовательность может задаваться неоднозначно, например последовательность –1, 1, –1, 1, … можно задать формулой или . Иногда используют рекуррентный способ задания последовательности: задаются первые несколько членов последовательности и формула для вычисления следующих элементов. Например, последовательность, определяемая первым элементом и рекуррентным соотношением (арифметическая прогрессия). Рассмотрим последовательность, называемую рядом Фибоначчи: задаются первые два элемента x₁=1, x₂=1 и рекуррентное соотношение при любом . Получаем последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …. Для такого ряда найти формулу общего члена довольно трудно.

8.1. Арифметические действия с последовательностями.

Рассмотрим две последовательности:

(8.1)

и

. (8.2)

Определение 8.2. Назовём произведением последовательности на число m последовательность . Запишем так: .

Назовём последовательность суммой последовательностей (8.1) и (8.2), запишем так: ; аналогично назовем разностью последовательностей (8.1) и (8.2);  произведением последовательностей (8.1) и (8.2);  частным последовательностей (8.1) и (8.2) (все элементы ).

8.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Совокупность всех элементов произвольной последовательности образует некоторое числовое множество, которое может быть ограничено сверху (снизу) и для которого справедливы определения, аналогичные введённым для вещественных чисел.

Определение 8.3. Последовательность называется ограниченной сверху, если ; М  верхняя грань.

Определение 8.4. Последовательность называется ограниченной снизу, если ; m  нижняя грань.

Определение 8.5. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу, то есть если существуют два вещественных числа М и m такие, что каждый элемент последовательности удовлетворяет неравенствам:

, (8.3)

m и M – нижняя и верхняя грани .

Неравенства (8.3) называют условием ограниченности последовательности .

Например, последовательность ограниченная, а неограниченная.

♦ Утверждение 8.1. является ограниченной .

Доказательство. Выберем . Согласно определению 8.5 последовательность будет ограниченной. ■

Определение 8.6. Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся хотя бы один элемент последовательности x_n, удовлетворяющий неравенству: .

Например, последовательность 1, 2, 1, 4, …, 1, 2n, … неограниченная, т.к. ограничена только снизу.

8.3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение 8.7. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого (сколь угодно большого) вещественного числа А найдётся номер такой, что при всех элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству .

☼ Замечание 8.1. Если последовательность бесконечно большая, то она неограниченная. Но не следует думать, что любая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, последовательность не ограничена, но не является бесконечно большой, т.к. условие не выполняется при всех чётных n. ☼

 Пример 8.1. Докажем, что последовательность является бесконечно большой. Возьмем любое число А>0. Из неравенства получаем n>A. Если взять , то для всех n>N будет выполняться неравенство , то есть согласно определению 8.7, последовательность бесконечно большая. 

Определение 8.8. Последовательность называется бесконечно малой, если для (сколь угодно малого ) найдётся номер такой, что при всех элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

 Пример  8.2. Докажем, что последовательность бесконечно малая.

Возьмём любое число . Из неравенства получаем . Если взять , то для всех n>N будет выполняться неравенство . 

♦ Утверждение 8.2. Последовательность является бесконечно большой при и бесконечно малой при .

Доказательство.

1) Пусть сначала : , где . По формуле Бернулли (пример 6.3, п. 6.1.) . Фиксируем произвольное положительное число А и выберем по нему номер N такой, чтобы было справедливо неравенство:

, , , .

Так как , то по свойству произведения вещественных чисел при всех .

Таким образом, для найдется такой номер, что при всех – бесконечно большая при .

2) Рассмотрим случай , (при q=0 имеем тривиальный случай).

Пусть , где , по формуле Бернулли или .

Фиксируем , и выберем такой, чтобы

, , .

Для . Укажем такой номер N, что при всех , то есть при последовательность бесконечно малая. ■

8.4. Основные свойства бесконечно малых последовательностей.

♦ Теорема 8.1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Фиксируем ; – бесконечно малая ,

– бесконечно малая . Выберем . Тогда при , , . ■

♦ Теорема 8.2. Разность двух бесконечно малых последовательностей и есть бесконечно малая последовательность.

Для доказательства теоремы достаточно использовать неравенство . ■

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно малую последовательность.

♦ Теорема 8.3. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. – ограниченная, – бесконечно малая последовательность. Фиксируем ; , ; : при справедливо . Тогда . ■

♦ Теорема 8.4. Всякая бесконечно малая последовательность является ограниченной.

Доказательство. Фиксируем Пусть некоторое число . Тогда для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности. ■

Следствие. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

♦ Теорема 8.5.

Если все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу c, то с=0.

Доказательство теоремы проводится методом от противного, если обозначить . ■

♦ Теорема 8.6. 1) Если – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера n, определено частное двух последовательностей и , которое представляет собой бесконечно малую последовательность.

2) Если все элементы бесконечно малой последовательности отличны от нуля, то частное двух последовательностей и представляет собой бесконечно большую последовательность.

Доказательство.

1) Пусть – бесконечно большая последовательность. Фиксируем ; или при . Таким образом, по определению 8.8 последовательность – бесконечно малая.

2) Пусть – бесконечно малая последовательность. Предположим, что все элементы отличны от нуля. Фиксируем А; или при . По определению 8.7 последовательность бесконечно большая. ■

37