Лекция 03. Вещественные числа (продолжение)
.docЛекция 3. Вещественные числа (продолжение).
3.1. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу.
Рассмотрим произвольное множество вещественных чисел X.
Определение 3.1. Множество вещественных чисел Х называется ограниченным сверху (снизу), если такое, что для любого выполняется неравенство . При этом число М (число m) называется верхней гранью (нижней гранью) множества Х.
Множество, ограниченное сверху и снизу, называется ограниченным.
Пример 3.1. Любой конечный промежуток , , – ограничен.
– множество, ограниченное снизу, но не ограниченное сверху.
– множество, не ограниченное ни снизу, ни сверху.
Очевидно, что любое ограниченное сверху (снизу) множество X имеет бесконечно много верхних (нижних) граней.
Определение 3.2. Наименьшее из чисел, ограничивающих множество Х сверху, называется точной верхней гранью этого множества и обозначается символом
(лат. supremum – наивысшее), читается «супремум».
Определение 3.3. Наибольшее из чисел, ограничивающих множество Х снизу, называется точной нижней гранью этого множества и обозначается символом
(лат. infimum – наинизшее), читается «инфимум».
Пример 3.2. 1) : ,
2) : , супремума нет.
3.2. Свойство точной верхней (нижней) грани.
Как бы ни было мало число , найдется такое, что и :
,
.
Пример 3.3. Рассмотрим множество , , то есть X ограничено.
(3.1),
(3.2).
Докажем положения (3.1) и (3.2).
1) Докажем, что число 1 является точной верхней гранью множества Х. Для этого, согласно свойству точной верхней грани, надо показать, что для любого найдётся натуральное число n такое, что выполняется неравенство . Этим числом является , т.к. . Это верно для любого . Доказано, что .
2) Докажем теперь, что число 0 является точной нижней гранью множества Х. Для этого проверим, будет ли для любого выполняться неравенство или . Получаем . Взяв какое-нибудь натуральное число , получим требуемое неравенство. Согласно свойству точной нижней грани .
Заметим, что данному множеству Х точная грань 1 принадлежит и является его наибольшим числом, а точная нижняя грань 0 не принадлежит, и в этом множестве нет наименьшего числа.
Определение 3.4. Число называется точной верхней гранью ограниченного сверху множества X, если:
1) ,
2) .
Определение 3.5. Число называется точной нижней гранью ограниченного снизу множества X, если:
1) ,
2) .
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) множества Х точной верхней (нижней) грани не является очевидным и требует доказательства.
♦ Теорема 3.1. Если множество вещественных чисел содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то существует вещественное число (число ), которое является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Докажем существование точной верхней грани.
Пусть Х ограничено сверху:
(3.3).
Возможны два случая:
1°. В множестве Х есть хотя бы одно неотрицательное вещественное число.
2°. Все х являются отрицательными вещественными числами.
Рассмотрим случай 1°.
Будем рассматривать лишь неотрицательные вещественные числа .
В силу (3.3) все целые части чисел x не превосходят М, а поэтому найдётся наибольшая из целых частей, которую мы обозначим через . Сохраним среди неотрицательных чисел множества те, у которых целая часть равна и отбросим все остальные числа.
В получившимся множестве рассмотрим первые десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков обозначим и образуем множество . Продолжая аналогичные рассуждения, получим десятичные знаки некоторого вещественного числа .
Докажем, что , построенное таким образом, является .
Для этого достаточно доказать два утверждения:
1) ,
2) .
Доказательство 1). , следовательно удовлетворяет условию . Пусть – любое неотрицательное число, входящее в . По определению числа : . Отсюда:
либо , тогда 1) доказано,
либо , откуда, в свою очередь:
либо доказано,
либо …
Продолжая аналогичные рассуждения мы либо докажем неравенство , либо получаем бесконечную цепочку равенств , , , ..., , ..., из которой вытекает . То есть 1) доказано.
Доказательство 2). Пусть – произвольное вещественное число, меньшее (будем считать неотрицательным, т.к. для отрицательного числа неравенство справедливо для ).
По предположению , следовательно , , …, , .
С другой стороны, по построению всегда найдётся число : , , …, , но тогда .
Существование точной верхней грани для случая 1° доказано.
Перейдём к случаю 2°. Все x представлены в виде отрицательных бесконечных десятичных дробей. Обозначим через наименьшую из целых частей этих дробей; через наименьший из первых десятичных знаков для дробей с целой частью и т.д. Определим таким образом отрицательное вещественное число . Аналогично случаю 1° доказывается, что . ■
3.3. Свойства вещественных чисел.
Определение 3.6. Суммой вещественных чисел а и b назовём такое вещественное число х, которое удовлетворяет неравенствам:
,
где , , , – рациональные числа, которые приближают вещественные числа а и b: ; .
Число х, являющееся суммой а и b, существует и единственно: .
Определение 3.7. 1) Произведением положительных вещественных чисел а и b назовём вещественное число x, удовлетворяющее неравенствам:
,
где , , , - любые положительные рациональные числа, которые приближают вещественные числа а и b: ; .
2) Произведение вещественных чисел любого знака определяется по правилу:
а) ,
б)
Все свойства рациональных чисел справедливы для вещественных чисел (доказаны ранее в определениях и леммах). Также для вещественных чисел сохраняют свою силу все правила алгебры, относящиеся к арифметическим действиям и сочетанию равенств и неравенств.
Рассмотрим некоторые конкретные множества вещественных чисел (подмножества R).
1°. Сегмент ; а, b – граничные точки или концы сегмента , – внутренняя точка сегмента .
2°. Интервал .
3°. Интервал , где , будем называть ε-окрестностью точки а.
4°. Любой интервал, содержащий точку а, будем называть окрестностью точки а.
5°. Полусегмент или .
6°. Множество всех вещественных чисел будем называть числовой (бесконечной) прямой и обозначать символом .
7°. Полупрямая или .
8°. Открытая полупрямая или .
Определение 3.8. Произвольное множество будем называть плотным в себе, если в любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы одна точка, отличная от х.
Примером плотного в себе множества является любое из множеств 1°-8°, а также множество всех рациональных чисел, входящих в состав любого из множеств 1°-8°.