- •2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами.
- •2. Линейные операции над векторами.
- •3. Понятие линейной зависимости векторов.
- •5. Линейная зависимость векторов в пространстве.
- •6. Базис на плоскости и в пространстве.
- •7. Проекция вектора на ось и ее свойства.
- •8. Декартова прямоугольная система координат в пространстве.
- •9. Цилиндрические и сферические координаты.
- •1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
- •2. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
- •3. Направляющие косинусы вектора.
- •4. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства.
- •5. Смешанное произведение трех векторов и его основные свойства.
9. Цилиндрические и сферические координаты.
В цилиндрической системе координат положение точки М пространства определяется полярными координатами r и точкиМ' - проекции точки М на плоскость хОу - и аппликатой z самой точки М (рис. 38). Числа r, и z называютсяцилиндрическими координатами точки М, причем r 0, 0< 2и z- любое действительное число. Из рис. 38 видно, что цилиндрические координаты r,и z связаны с прямоугольными соотношениями
х = r cos , у = r sin, z = z.
Рис.38
В сферической системе координат положение точки М в пространстве определяется ее расстоянием r от начала О, углом между положительным направлением осиОх и проекцией отрезка ОМ на плоскость хОу, углом между положительным направлением осиOz и отрезком ОМ (рис. 39). Числа r, иназываютсясферическими координатами точки М или полярными координатами в пространстве, при этом
r 0, 0 < 2, 0.
Из рис. 39 видно, что сферические координаты r, исвязаны с прямоугольными координатами соотношениями
х =r sin cos,у = r sin -sin , z = r cos.
Откуда
1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства.
Определение. Скалярным произведением двух векторовназывается число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярное произведение векторов иобозначается символомили(, ). Если угол между векторамииравен, то
= | | | |соs
Через обозначим проекцию векторана ось с направлением вектора. Так как ||соs=и ||соs=(см. § 2.1, п. 7), можно записать
=||;= ||,
т.е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось с направлением
Раскроем физический смысл скалярного произведения. Если вектор изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора, то работа А указанной силы определяется равенством
A=| | | | cos,
т.е. равна скалярному произведению векторов и.
Скалярное произведение обладает следующими основными свойствами
1) =(переместительное свойство);
2)== ||2(3)
(2называется скалярным квадратом вектора);
3)(+)=+(распределительное свойство);(4)
4) ()=()(сочетательное свойство относительно числового множителя).
Докажем, например, свойство 3. На основании формулы (2) и свойства проекций (см. § 2.1, (5)) имеем
( +)=||(+)=||(+=|+||=+ =+,
т.е. получаем равенство (4).
Примечание. Из свойств 1, 3, 4 скалярного умножения и свойств линейных операций над векторами (см. § 2.1, п. 2) следует, что векторы можно перемножать скалярно как многочлены.
Из равенства (1) следует, что косинус угла между двумя ненулевыми векторами иравен
Из формулы (5) получаем, что два вектора и)перпендикулярны (ортогональны), =тогда и только тогда, когда
= 0.(6)
Это утверждение справедливо также и в том случае, когда хотя бы один из векторов илинулевой (нулевой вектор имеет неопределенное направление и его можно считать ортогональным любому вектору).
2. Скалярное произведение векторов в координатной форме.
Пусть и.
Перемножая эти векторы как многочлены и учитывая вытекающие из равенств (3) и (6) соотношения === 0, === 1, будем иметь
= .(7)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно сумме парных произведений их одноименных координат
Пример. Если (1, 3,-1),(1, 0, 4), то по формуле (7) имеем=-3. Из равенства (7) с учетом формулы (3) имеем
Отсюда с учетом формул (5) и (7) находим угол между векторами:
Задача. Найти расстояние между точками М1(х1; у1;z1),М2(х2; у2;, z2).
Так как (см. § 2. 1 , п. 8) , то согласно формуле (8).
В п. 1 было отмечено необходимое и достаточное условие opтогональности векторов в виде равенства (6).
Согласно формуле (7) это условие можно представить в виде(10)