2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами.

1. Понятие вектора. При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называютсяскалярнымиили, короче,скалярами . Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называютсявекторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Векторные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует северный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.

Векторомназывается направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. ЕслиА - начало вектора иВ - его конец, то вектор обозначается символом. Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например,). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называютточкой его приложения. Если точкаА является началом вектора , то мы будем говорить, что вектор приложен в точкеА.

Длина вектора называется егомодулем и обозначается символом.Модуль вектора обозначается. Вектор, для которого, называетсяединичным

Вектор называется нулевым(обозначается), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Рис.24

Рис.25

Векторы и, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.

Два вектора иназываютсяравными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

В этом случае пишут: =. Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости). Такой вектор называется  свободным.

Пример. Рассмотрим квадрат (рис. 25). На основании определения равенства векторов можем написать и, но,хотя.

Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.

Вектор, противоположный вектору , обозначается. Для векторапротивоположным будет вектор.

2. Линейные операции над векторами.

Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть идва свободных вектора (рис. 26,а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор =,затем от точки А отложим вектор  = ,Вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называетсясуммойэтих векторов и обозначается(рис. 26,б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.

Отложим от точки О векторы =и. Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм  О ABC Вектор, служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершиныО, является, очевидно, суммой векторов(рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:

.

Действительно, каждый из векторов иравен одному и тому же вектору.

Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.

Пусть, например, даны три вектора ,и(рис. 27,а). Построив сначала сумму векторов, а затем прибавив к этой сумме векторполучим вектор. На рис. 27, б)=,,,и.

Из рис. 27, б видно, что тот же вектормы получим, если к вектору=прибавим вектор. Таким образом,

Рис.27

( +) +=+ (+),

т.е. сумма векторов обладает  сочетательнымсвойством. Поэтому сумму трех векторов,,записывают просто.

Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго - начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.

Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство .

Определение. Разностью иназывается третий вектор, сумма которого с вычитаемым векторомдает вектор. Таким образом, если,.

Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы

= и=из общей точкиО. Вектор, соединяющий

концы уменьшаемого вектора и вычитаемого вектораи направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью. Действительно, по правилу сложения векторов

, или .

Определение. Произведением ( или)на, называется вектор, коллинеарный вектору, имеющий длину, равнуюи то же направление, что и вектор, если> 0, и направление, противоположное направление< 0. Так, например, 2есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор, а длину, вдвое большую, чем вектор. В случае, когда= 0 или, произведениепредставляет собой нулевой вектор. Противоположный векторможно рассматривать как результат умножения векторана

Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что .

Пусть дан вектор . Рассмотрим единичный вектор, коллинеарный векторуи одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что

,

т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует =, гдененулевой вектор, то векторыиколлинеарны.

Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов иследует, что.

Таким образом, два вектора иколлинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

= .

Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает

и сочетательным свойством

.

Справедливость, например, равенства (1) при следует из того, что при изменении сторон параллелограмма враз в силу свойств подобия его диагональ также изменяется в