- •§1.2. Зависимость амплитуды и начальной фазы колебаний от начальных условий.
- •§1.3. Свободные гармонические колебания в lc-контуре.
- •§1.4. Графическое изображение гармонических колебаний. Векторная диаграмма.
- •Глава 2. Сложение гармонических колебаний
- •§2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления.
- •§2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
- •Глава 3. Затухающие колебания.
- •§3.1. Механические затухающие колебания.
§3.1. Механические затухающие колебания.
Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения. Силы, действующие на маятник:
1. Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.
2. Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак «минус» показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:
.
Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона: ma = Fупр. + Fсопр. Учитывая, что
и , запишем второй закон Ньютона в виде: .
Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:
.
Обозначим , где β – коэффициент затухания, , где ω0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе. В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:
.
Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Уравнение затухающих колебаний есть решение такого дифференциального уравнения:
, .
В приложении 1 показано получение решения дифференциального уравнения затухающих колебаний методом замены переменных. Частота затухающих колебаний:
(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).