1. Функция. Способы задания функции. Область определения и область изменения функции.Функция – это соответствие между двумя множествами Х и У, при котором каждому элементу множества Х найдется единственный элемент множества У. Способы задания функции:

1. Табличный (значения функции задаются в виде табличных значений).

2. Графический (значения функции задаются в виде графиков).

3. Аналитический (с помощью формулы).

4. Описательный способ (свойства функции задаются словесно).Область определения функции – это множество значений переменной Х, при которых функция принимает действительные значения (обозначается D(f)).

Область изменения функции – это множество значений, которые принимает сама функция (обозначается E(f)).

2. Предел функции. Теоремы о пределах. Односторонние пределы функции.

Предел функции в заданной точке - это такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

lim f(x) = a

1 Теорема:

Предел суммы есть сумма пределов.

lim (f(x) + u(x)) = lim f(x) + lim u(x)

2 Теорема:

Предел произведения есть произведение пределов.

lim f(x)*u(x) = lim f(x) * lim u(x)

3 Теорема:

Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

4 Теорема:

Предел функции равен функции в предельной точке аргумента.

lim f(x) = f (limx)

Односторонние пределы функции:

Это предел числовой функции , подразумевающий "приближения" к предельной точке с одной стороны. Чтобы функция имела предел необходимо существование односторонних пределов, они должны быть равны и конечны.

3. Непрерывность функции в точке. Классификация разрывов функции.

1. Функция непрерывна, если предел функции и ее значение в этой точке равны.

lim f(x) = f (x₀) при х->x₀

2. Функция непрерывна в точке, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

lim (дельта)y = 0

(дельта)y = y*(x₀+(дельта)x) – y(x₀) – приращение функции

(дельта)х – приращение аргумента

3. Функция непрерывна в точке, если существуют конечные односторонние пределы функции и они равны между собой, и равны значению функции в этой точке.

f (x₀-0) = f (x₀+0) = f (x₀) < бесконечность - условия непрерывности функции в точке

Классификация разрывов функции:

Точка разрыва функции – это точка Х₀, в которой нарушаются условия непрерывности функции (3).

I род, неустранимый.

Точка Х0 называется точкой неустранимого разрыва I рода, если существуют односторонние пределы функции, они конечны, но не равным между собой.

f (x0-0) НЕ равно f (x0+0) < бесконечность

б = | f (x0-0) – f (x0+0) | - скачок

1род, неу2род.

II род, устранимый.

Точка Х0 называется точкой устранимого разрыва I рода, если существуют конечные, односторонние пределы функции, они равны между собой, но не равны значения функции в этой точке.

f (x0-0) = f (x0+0) НЕ равно f (x0)

Замечание: устранимый разрыв 1 рода можно искусственно устранить. Для этого надо значение функции f(X0) прировнять к значению.

f (x0) = f (x0+0)

II род.

Точка X0 называется точкой разрыва II рода, если хотя бы 1 из односторонних пределов функции или оба не существуют или равны бесконечности.

f (x0-0) = бесконечность f (x0+0) = бесконечность f (x0+0) = бесконечность

4. Элементарные правила раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.

Правила:

1. Использование замечательных пределов;

2. Применение правила Лопиталя;

3. Производные и дифференциалы высших порядков.

5. Первый замечательный предел.

lim = (0\0) = 1 x->0

lim= (0\0) = 1 x->0

6. Второй замечательный предел.

lim (1+X)^ = (1^∞) = e x->0

lim (1+ )^x = (1^∞) = e x->∞

7. Производная функции. Задача Ньютона.

Производная функции – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю произвольным образом.

y^| = = lim= lim⧍x->0

Задача Ньютона:

Найти скорость неравномерного прямолинейного движения точки в каждый момент времени t.

Решение:

1. t+⧍t => S(t) + ⧍S = S (t+⧍t)

2. ⧍S = S (t+⧍t) – S(t) - приращение функции

3. Найдем среднюю скорость движения точки, считая, что за небольшой промежуток времени точно двигалась равномерно

V_ср=

4. Найдем мгновенную скорость движения точки.

V_мгн = lim = lim = S^| (t) = = S (t)⧍t->0

8. Механический, геометрический смысл производной функции.

Механический смысл:

1. Скорость неравномерного прямолинейного движения точки равна производной пути по времени.

v(t) = = S^| (t)

2. Ускорение неравномерного движения точки равно:

a = = S^|| (t)

3. Сила переменного тока равна производной количества по времени.

I (t) = = Q^| (t)

Геометрический смысл производной

y^| = = lim= lim⧍x->0

9. Уравнения касательной и нормали.

Уравнение нормали:

y-y₀ = (1\y^| (x₀)) *(x-x₀)

Уравнение касательной:

y-y₀ = y^|(x₀)(x-x₀)

10. Правила и формулы дифференцирования.

1. Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной.

2. Производная суммы равна сумме производных.

3. Производная произведения функций.

4. Производная частного функций.

11. Производная сложной функции.

(u(v))^| = u^|(v)*v^|

Сначала находим производную внешней функции u^|(v)

12. Производная неявно заданной функции.

F (x;y) = 0

y_x^| - ?

1. Продифференцируем каждое слагаемое уравнения, считая, что производная

x^|=1; y^|=y^|

2. Из полученного выражения найдем y^|.

x² - y³ = Sin (x-y)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y)(1-y^|)

2x – 3y²*y^| = Cos (x-y) – Cos (x-y)*y^|

Cos (x-y)*y^| - 3y²*y^| = Cos (x-y) – 2x

y^|*(Cos (x-y) – 3y²) = Cos (x-y) – 2x

y^| =

13. Первая, вторая производные параметрически заданной функции.

y_x^’ = y_t’ \ x_t’

y_xx” = (y_x’)_t’ \ x_t’

14. Дифференциал функции и его вычисление.

Дифференциал – это главная часть приращения функции. Линейная относительно ⧍Х и обозначается dy.

dy = y'(x)*⧍x = y’(x)*dx - рабочая формула для вычисления дифференциала функции

dx = x'(x)*⧍x = ⧍x

Для того, чтобы найти дифференциал функции, надо производную функции умножить на дифференциал независимой переменной.

15. Правило Лопиталя.

Если существует отношение 2-ух бесконечно малых или 2-ух бесконечно больших функций, то существует и предел их отношения, и он равен пределу отношений их производных, равен пределу отношения их вторых производных и т.д. (0\0; ∞\∞).

lim = lim = lim

16. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производные: Дифференциалы:

y” = (y’)’ dy = y’(x) dx

y’’’ = (y”)’ dⁿy = y⁽ⁿ⁾(x) dxⁿ

y⁽ⁿ⁾ = (y^(n-1))’

17. Признаки возрастания и убывания функции. Экстремумы функции.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Если f’(х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция f возрастает на I.

Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Если f’(х) < 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Экстремумы функции:

Экстремум – это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

18. Изогнутость графика функции. Точки перегиба.

График функции y=f(x) называется выпуклым на интервале, если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

График функции y=f(x) называется вогнутым на интервале , если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Точка перегиба - это точка графика функции, в которой меняется направление выпуклости графика (выпуклый - вогнутый), а вторая производная меняет свой знак.

Обычно находится следующим образом:

1) находим вторую производную

2) приравниваем ее к нулю и решаем уравнение. Полученные корни называются КРИТИЧЕСКИМИ ТОЧКАМИ ВТОРОГО РОДА

3) на оси Ох отмечаем эти точки и определяем знаки второй производной на каждом из полученных интервалов

4) как только при переходе через критическую точку вторая производная поменяла знак-вот Вам и точка перегиба...