04_Надежность_Закономерности_распред_отказов

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Для рассмотрения биномиального закона распределения необходимо отметить некоторые свойства нагрузки G t :

Нагрузка изменяется непрерывно и вследствие инерционности ее изменение на двух соседних малых интервалах времени ( t1 и t2 на рис. 4.1) будет незначи-

тельно. В то же время, на достаточно удаленных друг от друга участках ( t2 и t3 )

изменение нагрузки может быть значительным. Таким образом, количество превышений нагрузкой значения Gmax не зависит от того, сколько их было на дру-

гих, не перекрывающихся участках. Такое свойство нагрузки называется отсут-

ствием последействия.

Следующим свойством нагрузки является то, что превышения ей значения Gmax и моменты их возникновения носят случайный характер, т.е. число превы-

шений зависит только от величины интервала времени наблюдения и не зависит от положения его на оси времени. Это свойство нагрузки называют стационар-

ностью.

Вследствие непрерывности и плавности изменения нагрузки вероятность попадания на малый промежуток времени t двух и более превышений Gmax пре-

небрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного превышения. Данное свойство принято называть ординарностью, а поток событий (поток отказов, закон распределения), отвечающий всем трем свойствам, называют про-

стейшим.

Выделим на оси времени интервал « t » и обозначим как « m » количество отказов в этом интервале. Тогда вероятность того, что на отрезке времени « t » произойдет ровно « m » отказов:

где случайная величина t - число отказов в интервале « t ».

Учитывая свойство ординарности, на малом t пренебрегаем вероятностью возникновения нескольких отказов. Тогда вероятность попадания одного отказа определится как « t », вероятность отсутствия отказа «1 t ». Здесь « » - плотность числа отказов (среднее число отказов) в единицу времени. Согласно свойству стационарности « » не зависит от времени. Так как попадание отказов в неперекрывающиеся отрезки времени, события независимые, имеется возможность рассматривать « n » участков длиной « t », как « n » независимых испытаний, в каждом из которых произошел отказ с вероятностью « t tn » и не

произошел с вероятностью «1 t 1 tn ». Тогда вероятность события, за-

ключающаяся в том, что на первых « m » участках длиной « t » отказы произошли, а на оставшихся « n m » не произошли, возможно определить с использованием теоремы об умножении вероятностей:

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Вероятность того, что на любых « m » участках из « n » произошли отказы, а на остальных – нет, получим с использованием теоремы о сложении вероятностей:

число способов выбора « m » элементов из « n » независимо от того, в каком по-

Биномиальное распределение является дискретным, его нельзя рассматривать как непрерывную функцию времени. Биномиальное распределение обычно применяется в случаях, когда изделия классифицируются на хорошие и дефектные.

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Рис. 4.2. Примерный вид и свойства биномиального распределения

Распределение Пуассона. При достаточно большом « n » и ординарности событий, « Pm,n » приближенно равно вероятности:

Данное выражение представляет собой закон Пуассона с параметром « t », т.е. число отказов « m » в промежутке времени « t » имеет распределение Пуассона с учетом сделанных предположений. Закон Пуассона определяет вероятность появления в малых выборках различных значений случайной величины « m ». На практике часто используется как заменитель биномиального распределения, но имеет и самостоятельное значение: если вероятность появления события в малом промежутке времени « t » пропорциональна « t » и события являются независимыми, то число появлений события в течение данного промежутка времени распределяется по закону Пуассона, называемому также «законом редких яв-

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

лений». Распределение Пуассона широко используется в теории надежности для описания данных об отказах в первом приближении, таких, например, как число отказов в течение заданного отрезка времени, число дефектов в некоторой большой совокупности и т.д.

Примерный вид закона Пуассона представлен на рис. 4.3. Следует отметить ряд свойств распределения Пуассона:

Pm t максимальна для m t (наибольшее целое число, равное или меньшее

t ).

Для малых значений t распределение сосредоточено вблизи начала координат. С ростом t распределение приобретает ассиметричную колоколообразную форму. Для больших значений ( t 9 ) распределение Пуассона можно приближенно заменить нормальным распределением с параметрами Tср t ,

2 t .

Рис. 4.3. Примерный вид и свойства распределения Пуассона

Непрерывные законы распределения. Экспоненциальный закон распреде-

ления. Допустим, что в рассматриваемом промежутке времени отказов не было, т.е. « m 0 ». Тогда « Pm t » представляет собой вероятность безотказной работы:

Такое распределение называется экспоненциальным (показательным), т.е. время безотказной работы распределено экспоненциально с параметром « ».

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Рис. 4.4. Примерный вид экспоненциального распределения. Очевидно, что вероятность отказа:

Средняя наработка до отказа определится следующим образом:

Данный закон распределения является однопараметрическим, т.е. для определения показателей безотказности необходимо знать только значение « ».

Рассмотрим теперь основные свойства экспоненциального закона. Выделим на оси времени промежуток длиной « t t2 t1 » и определим условную вероят-

ность отсутствия отказа в промежутке времени « t » при условии, что он не произошел до момента времени « t1 »:

Отсюда следует, что R t | t1 R t , т.е. вероятность отказа в промежутке времени « t » не зависит от выбора момента времени « t1 » и « t2 », а зависит только от длины интервала времени « t2 t1 ». Так как рассматриваемый интервал времени

может находиться на любом этапе эксплуатации объекта, то, согласно экспоненциальному закону распределения технические обслуживания и ремонты не влияют на показатели надежности, а сам объект, является, по сути дела, нестареющим. Тем не менее, этот закон достаточно широко применяется в технике для анализа надежности технических изделий при внезапных отказах, связанных с воздействием случайных факторов, таких как превышение допустимых нагрузок, нарушение правил эксплуатации, снижение допустимых нагрузок из-за ошибок, допущенных при проектировании и изготовлении и т.д.. При этом своевременно проводимые мероприятия по техническому обслуживанию и ремонту восстанавливают работоспособность оборудования по мере его износа и старе-

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

ния, а потому в период нормальной эксплуатации оборудования свойства стационарности, ординарности и отсутствия последействия нарушаться не будут, а поток отказов по-прежнему можно считать простейшим.

Изменение интенсивности отказов сложного технического изделия можно представить в виде рис. 4.5.

I – период приработки – начальный период эксплуатации, в котором происходит так называемое «выжигание» дефектных элементов. В процессе приработки выявляются наиболее грубые ошибки, допущенные при проектировании, изготовлении и монтаже. Длительность первого периода обычно небольшая, а число отказов может в 1.5 – 2 раза больше, чем в последующие годы эксплуатации.

Рис. 4.5. Примерный вид изменения интенсивности отказов сложного технического изделия в процессе его эксплуатации.

Обычно выделяют три основных периода эксплуатации.

II – период нормальной эксплуатации – основной, наиболее длительный период эксплуатации, в течение которого работоспособность оборудования успешно поддерживается мероприятиями по техническому обслуживанию и техническому ремонту, а основную часть отказов составляют внезапные отказы, предотвращение которых путем своевременного обслуживания и ремонта невозможно, т.к. они обусловлены случайными внешними факторами, а замена неработоспособных элементов производится на такие же точно новые или отремонтированные, обладающие теми же недостатками (заложенными при проектировании и изготовлении), что и заменяемый элемент. Интенсивность отказов в этот период эксплуатации постоянна, а потому справедлив экспоненциальный закон распределения.

III – период интенсивного старения – интенсивность отказов возрастает по мере старения элементов технического изделия. Данный период имеет небольшую продолжительность.

Рассмотрим еще одно свойство экспоненциального закона - при

ятность безотказной работы составит R t e 1 0,368 , т.е. в данном случае, сред-

няя наработка до отказа – время, в течение которого вероятность безотказной работы уменьшается в « e » раз.

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Следует отметить, что показатели надежности определяются для номинального режима работы объекта (при 100% нагрузке), однако, на практике оборудование обычно эксплуатируется на меньших режимах. В теории надежности считается, что режим работы влияет только на безотказность и долговечность оборудования. Зависимость интенсивности отказов от режима работы объекта при условии неизменности закона распределения можно выразить следующим образом:

лежащий для механического оборудования в пределах 2 n 5 .

Таким образом, даже незначительное снижение нагрузки может привести к ощутимому повышению надежности. При этом справедливо и обратное утверждение, поэтому возможности перегрузки оборудования жестко регламентируются по величине и времени эксплуатации. Необходимо отметить, что снижение нагрузки в определенных пределах является одним из способов повышения надежности. При этом следует учитывать, что при изменении режима работы сложного технического изделия может измениться характер закона распределения отказов, а также качественный состав самих отказов, что может привести не к повышению, а, наоборот, снижению показателей надежности по сравнению с номинальным режимом работы, что, характерно, например, для дизелей на режимах, меньших 50% от номинальной мощности, оборудования, допустимый температурный режим работы которых задан не только максимумом, но минимумом и т.д.

Нормальный закон распределения. Нормальное распределение (распределение Лапласа-Гаусса) достаточно широко используется в математической статистике и теории вероятностей: согласно центральной предельной теореме сумма большого числа независимых или слабозависимых случайных величин, каждая из которых вносит небольшой вклад в эту сумму, хорошо согласуется с нормальным распределением. Так ошибки измерений часто следуют нормальному распределению, нормальное распределение является предельным для многих распределений. В теории надежности нормальный закон распределения используется для описания надежности стареющего оборудования, т.е. когда интенсивность отказов с течением времени возрастает. Это является вполне обоснованным, учитывая тот факт, что на надежность сложного оборудования в реальных условиях эксплуатации влияет множество независимых или слабозависимых факторов.

Плотность распределения вероятности отказов при нормальном законе рас-