05_Надежность_Статист_опред_ПН

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

где 0 - величина систематической ошибки.

Обнаружение грубых ошибок. При множественных измерениях возможно появление грубых ошибок, т.е. ошибок, возникших из-за невнимательного наблюдения, неправильного фиксирования результатов и т.д., поэтому измерения, существенно отличающиеся от остальных, считаются грубо ошибочными и не учитываются при статистической обработке результатов испытаний. Так, согласно [4] если для всех измеренных величин выполняется оценка:

то нет оснований считать одну из них грубо ошибочной. Если же измерение не укладывается в эти пределы, то его необходимо отбросить. Здесь P1 - вероят-

ность того, что ни одно из измерений не отличается от M t более, чем на некоторое , для чего должно выполняться условие P ti M t N P1 . Так как общепринятых критериев для определения величины P1 нет, обычно принимают

P1 P0 .

Обработка статистических данных. Определение показателей надежности возможно лишь на основе экспериментальных данных. Планирование эксперимента, регистрация, описание и анализ статистических данных производится с использованием методов математической статистики. Первым этапом является выбор плана эксперимента и необходимого числа испытаний исходя из экономических соображений и заданной доверительной вероятности эксперимента.

Выбор плана эксперимента является отдельным сложным вопросом, широко представленным в специальной литературе [7, 3, 1, 8, 9] и здесь не рассматривается из-за большого его объема. В дальнейшем будет использоваться только непараметрический план эксперимента, как наиболее общий (но и самый трудоемкий и дорогостоящий) и не зависящий от вида закона распределения.

Результатом эксперимента в данном случае является ряд наработок до отказа одного или нескольких комплектов изучаемого технического изделия (рис.5.1). Следует отметить, что наработка до отказа испытуемого образца технического изделия может измеряться не только по факту его выхода из строя, но и по уходу каких-либо параметров за назначенные для этого эксперимента пределы.

Таким образом, получаем первичные статистические данные, представляющие собой выборку. Следует отметить, что в общем случае выборок может быть несколько. При этом выборка должна быть однородной, т.е. выбранной из одного и того же распределения и представительной, т.е. выборкой, при которой все элементы изучаемой совокупности должны иметь равную вероятность быть отобранными в нее.

Далее, следует результаты испытаний расположить в ряд в порядке возрастания численных значений случайных величин. В результате получаем вариационный ряд для времени безотказной работы, выглядящий следующим образом: t1 t2 t3 ... tN , где N - число испытаний. Теперь возможно приближенное оп-

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

ределение показателей надежности для исследуемого технического изделия по известным статистическим формулам.

Рис. 5.1. Примерный вид первичных статистических данных (наработок до отказа) комплекта изучаемого технического изделия.

При большом числе опытных данных (при N 100 ) целесообразно сгруппировать их и распределить по эквидистантным интервалам. Выбор интервалов следует производить таким образом, чтобы по возможности выполнялись следующие требования:

-число интервалов « K » должно быть не менее «7»;

-количество попаданий в интервал « mi » должно быть не менее «2-3»;

-границы интервалов должны быть выражены целыми числами. Величина интервала определится по следующей формуле:

где Tmax и Tmin наибольшее и наименьшее значения случайной величины в вы-

борке.

Далее следует определить и заполнить в таблице, примерный вид которой представлен в виде таблицы 5.1, середины интервалов ti и число попаданий mi

экспериментальных данных в интервалы. После чего определяем для каждого интервала:

- статистическую частность отказов

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

- статистическую интенсивность отказов

В некоторых случаях удобно представить обработанные экспериментальные данные в виде гистограммы. Для этого будем считать вероятность отказа на каждом интервале высотой прямоугольника (рис. 5.2). При необходимости можно также построить ломаную кривую распределения отказов.

Таблица 5.1.

Таблица обработки экспериментальных данных

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

Рис. 5.2. Гистограмма статистической вероятности отказа

Определение теоретического закона распределения по результатам ис-

пытаний. Выбор теоретического закона распределения на основе результатов испытаний является непростой задачей, особенно в случае непараметрического плана испытаний, когда вид закона заранее неизвестен. В литературе [1, 3, 7, 8] приводится несколько способов, начиная от относительно простого, но трудоемкого «подгона» кривой теоретического распределения к ломаной кривой опытных значений на одном графике, до достаточно сложных в теоретическом плане способов выбора параметров закона распределения на основе известных особенностей и свойств различных законов распределения. Рассмотрим один из способов, представляющийся наиболее удобным [6] и заключающийся в определении параметров распределения Вейбулла при известном значении коэффициента вариации V , т.е. при известных, полученных при обработке статистических данных Tср и . Учитывая свойство закона Вейбулла при определенных значениях

параметров распределения сводиться к экспоненциальному и нормальному законам - этим способом можно и ограничиться.

Для получения функции надежности и плотности распределения вероятностей случайной величины используются выражения (4.54) и (4.55), определение параметра формы c осуществляется по таблице (приложение 2) исходя из значения V .

При этом следует учитывать, что:

- если коэффициент вариации V 0,33, то распределение соответствует нор-

мальному закону распределения;

- если 0,33 V 0,99 , то распределение соответствует закону Вейбулла;

- если V 1, то распределение близко к экспоненциальному.

Определение параметра масштаба b осуществляется следующим способом: - для нормального закона распределения b Tср ;

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

-для экспоненциального закона распределения определяется также, как и в случае закона Вейбулла, при известной интенсивности отказов - b 1 ;

-для распределения Вейбулла параметр масштаба b определяется как:

где - гамма-функция Эйлера, определяемая в зависимости от значения c

по таблице (приложение 2).

Также в таблице приведены значения среднеквадратичного отклонения для закона Вейбулла Y DY в зависимости от значений c .

Критерии согласия. В процессе обработки статистических данных обычно строится эмпирическая функция распределения наработки до отказа в виде гистограммы или непрерывной функции. Следующим этапом является является выбор закона распределения, в результате чего можно получить готовое выражение, определяющее зависимость показателей надежности от времени t . При этом следует провести проверку соответствия опытных данных принятому закону распределения.

Вматематической статистике имеется несколько способов проверки гипотезы

осоответствии опытных данных принятому теоретическому закону распределения [3, 7, 10]. Самым простым является точечное графическое сравнение опытной функции распределения с функцией распределения, полученной по принятому теоретическому закону, однако, сложность использования данного способа заключается в невозможности получения истинных значений параметров исследуемой системы, в том числе исходных данных для моделирования. Эта проблема решается использованием интервального подхода (т.е. подхода, основанного на сравнении доверительных интервалов обеих функций) к оценке соответствия полученного теоретического закона распределения опытным данным. Рассмотрим некоторые способы, часто применяющиеся в теории и практике надежности.

Графический способ точечного сравнения. Пусть имеется достаточно боль-

шое число значений случайной величины T - t1 , t2 , t3 , …, tN (желательно N 50 ), то возможно определить эмпирическую функцию распределения F t

графическим способом.

Определим tmin и tmax и найдем размах tmax tmin . Разделим на достаточно большое число K равных частей

Рассмотрим K точек:

t1 tmin t

t2 tmin 2 t

.....................

tK tmin K t tmax .

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

Теперь обозначим через i число величин в ряду t1 … tN , которые меньше или

равны ti .

Тогда эмпирическая функция распределения будет иметь вид

Графическое представление эмпирической функции распределения можно получить откладывая по горизонтальной оси значения ti , а по вертикальной -

F ti . Если на том же графике изобразить теоретическую кривую распределения F t , то имеется возможность сравнения F ti и F t . Сравнение эмпирической и

теоретической функций распределения по доверительным интервалам производится аналогичным способом и в достаточной мере описано в литературе [4, 10].

Критерий 2 (Пирсона). Пусть имеется ряд наработок t1 ,t2 ,t3 ,...,tN , где N -

количество испытаний. Требуется проверить гипотезу о том, что функция распределения наработки объекта F t P T t - является вполне определенной

функцией распределения.

В соответствии с таблицей 5.1, содержащей обработанные данные ось 0,

Если 2 2 K 1; , то считаем, что экспериментальные данные не соответ-

ствуют гипотезе.

Если 2 2 K 1; , то считаем, что экспериментальные данные не противоречат гипотезе. Для удобства вычислений в таблицу 5.1 целесообразно добавить

Следует отметить, что в данном случае предполагается, что величины pi из-

вестны до опыта. В случае, если в теоретическую функцию распределения входит один параметр, определяемый по тем же опытным данным, соответствие которых с теоретическим законом распределения оценивается, то следует использовать 2 распределение с K 2 степенями свободы. Соответственно, при двух

параметрах, определяемых аналогичным образом, следует использовать 2 распределение с K 3 степенями свободы.

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

Критерий Колмогорова. Данный критерий позволяет произвести количественную оценку согласия эмпирического и теоретического распределений, для чего необходимо построить на одном графике теоретическую и эмпирическую кривые (или аналитически с использованием вычислительной техники).

Пусть имеется статистическая функция распределения F t Q t и определенная теоретическая кривая F t Q t , полученная согласно предполагаемому

теоретическому закону распределения.

По предварительно построенным графикам или аналитически определим

Если D A N, , то экспериментальные данные не противоречат гипотезе, если D A N, , то не соответствуют.

При N 50 используется предельная теорема Колмогорова:

где K Y - функция распределения Колмогорова.

Следует отметить, что критерий согласия Колмогорова предполагает параметры теоретического закона распределения известными до опыта. Если же параметры теоретического распределения определяются по тем же опытным данным, по которым получена функция эмпирического распределения, то оценка может получиться завышенной.

Требования и основные этапы статистической оценки показателей надежности также изложены в [16].

Статистическая оценка показателей надежности при ограниченном числе опытных данных. Как было указано в П.1 имеется возможность оценки показателей надежности с помощью простейших числовых характеристик законов распределения. Обычно такой способ применяется при ограниченном числе опытных данных, когда точности и достоверности имеющихся результатов недостаточно для выбора теоретического закона распределения. Само по себе оценивание относится к классу статистических методов, которые используются для получения представления о значении одного или нескольких параметров с максимально возможной точностью. При этом на основании исходных данных либо получают определенные значения, т.е. точечные оценки, которые стремятся максимально приблизить к значениям соответствующих параметров, либо вы-

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

числяют граничные значения, между которыми с большой вероятностью должны находиться значения параметров.

При малом числе опытных данных оценка показателей надежности должна быть состоятельной (оценка, которая при увеличении числа опытов сходится по вероятности с истинным значением рассматриваемой величины) и несмещенной (исключена систематическая ошибка в сторону занижения или завышения результата). В то же время, для того чтобы можно было с уверенностью применять точечные оценки, необходимо знать как минимум приближенно, величину ошибок оценивания. Точность приближенного определения показателей надежности оценивается доверительным интервалом и доверительной вероятностью.

Данный вопрос по сути дела сводится к определению количества испытаний, необходимого для того, чтобы полученным характеристикам можно было доверять. Такая оценка точности основывается на центральной предельной теореме, утверждающей, что для большого числа N случайных величин X с любым законом распределения, их сумма есть случайное число с нормальным законом распределения.

Пусть в моменты времени t1 , t2 , …, tN произошло ni отказов. Необходимо оп-

ределить состоятельные и несмещенные оценки случайной величины, математическое ожидание наработки до отказа

Обозначим за доверительную вероятность, т.е. вероятность того, что Tср отличается от MT не более, чем на .

Так как при N Tср MT , т.е. средняя наработка до отказа стремится к математическому ожиданию наработки до отказа, а эмпирические характеристики

где называется доверительным интервалом, т.е. неизвестное значение средней наработки до отказа Tср попадает в доверительный интервал, определяемый

как MT ; MT с доверительной вероятностью ,

где MT и MT - нижняя и верхняя доверительная граница соответствен-

но.

Учитывая центральную предельную теорему (теорему Бернулли) можем записать

функция Лапласа. Смысл интегральной функции – вероятность того, что случайная величина примет значения из диапазона от до .

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Статистическое определение ПН

Из этой формулы возможно выразить число испытаний, требуемое для доверительной вероятности при заданном :

ная функция Лапласа (такое значение , при котором значение функции Лап-

ласа равно ). Значения функции Лапласа представлены в таблице (приложение

4).

При известной , задаваясь значениями и возможно определить N .

Контрольные вопросы

1.Какую оценку опытных данных считают состоятельной и несмещенной?

2.В чем смысл центральной предельной теоремы и закона больших чисел применительно к теории надежности?

3.Как определить необходимое число испытаний? С какими трудностями при этом можно столкнуться?

4.Какую выборку экспериментальных данных называют однородной и представительной?

5.В чем заключается необходимость использования вариационного ряда и группировки опытных данных по интервалам?

6.Как определить по имеющимся опытным данным статистические значения показателей надежности?

7.Как определить параметры теоретического закона распределения отказов по результатам испытаний?

8.Перечислите способы проверки соответствия опытных данных принятому теоретическому закону распределения отказов.

9.Перечислите основные достоинства и недостатки критерия Колмогорова.

10.Как произвести статистическую оценку показателей надежности при ограниченном числе опытных данных?