Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

Судовые энергетические установки

Файл:

04_Надежность_Закономерности_распред_отказов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

471.06 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Математическое ожидание наработки до отказа:
MT	Tср .	(4.21)
Дисперсия наработки до отказа:	2 .	(4.22)
DT

Усеченное нормальное распределение. Следует учитывать, что случайная величина при нормальном распределении может принимать значения на всей числовой оси, тогда как наработка до отказа не может быть отрицательной, кроме тех случаев, когда учитывается сохраняемость, т.е. изделие может отказать еще до начала его эксплуатации. Если нельзя пренебречь вероятностями отрица-

тельных значений величины при « T 3 », используется усеченное нормальное распределение, представленное на рис. 4.8.

Рис. 4.8. Примерный вид усеченного нормального распределения

Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального путем ограничения интервала изменения этой величины. Ограничим наработку до отказа интервалом от « A » до

																	B
« B », тогда a t 0 при t A и t B . Так как												a t dt			C a t dt 1, возможно запи-
сать:																	A
сать:													t T			2
a1 t					C								t T			2
					C				EXP					ср			,			(4.23)
									EXP						2		,			(4.23)
						2							2		2
						2							2
где множитель « C » определится как:
C									1					,						(4.24)
C		B T								A	T			,						(4.24)
	F						ср						ср
	F									F

так как F A Tср B F B F A .
Для случая, когда A 0 и B :							1
			C				1			,										(4.25)
			C				T			,										(4.25)
							T
						F

Тогда плотность усеченного нормального распределения определится как:
a1 t								1								t	T	2
								1				EXP					ср		,	(4.26)
				T								EXP				2 2			,	(4.26)
				T						2						2 2
			F							2

вероятность безотказной работы:

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

ср

Q1 t

ср

интенсивность отказов:

t T

EXP

ср

1 t

2 F

ср

Математическое ожидание наработки до отказа:

M y T Tср

EXP

Tср

ср

2 F

Дисперсия:

		1								2
1		1					EXP			Tср
1				T			EXP		2
				T					2		2
	2	F			ср
	2	F



Dy T DT
		1								2
		1							Tср
						EXP
			T			EXP				2
			T					2		2
	2	F			ср			2
	2	F



причем при Tср 2 DT можно принимать M y T										Tср		и

Tср

Dy T DT .

(4.27)

(4.28)

(4.29)

(4.30)

Следует отметить, что интенсивность отказов при нормальном законе распределения невелика при малых « t » и экспоненциально возрастает по мере его увеличения. Чем меньше величина « 2 », тем больше интервал времени, на котором вероятность наступления отказа мала.

Логарифмически нормальный закон распределения. Распределение случай-

ной величины называется логарифмически нормальным, если логарифм этой величины распределяется по нормальному закону. Данный закон широко используется при обработке эксплуатационных и опытных данных по усталостной долговечности металлов, например, для анализа отказов крепежных соединений, валопроводов, передач и т.д.

Плотность распределения вероятностей отказов при логарифмически нормальном законе определится как:

		a t		1		0		2
				1	EXP	0			,	(4.31)
					EXP		2		,	(4.31)
			t	2		2	2
			t	2		2
где ln t ,	0	ln Tср , а и	0	являются параметрами распределения.

Тогда вероятность безотказной работы:

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

R t F 0 , (4.32)

интенсивность отказов:

						0		2
				EXP		0
				EXP			2
		1				2	2
t		1				2			.	(4.33)
t	t	2			0				.	(4.33)
	t	2			0
					F
					F

Математическое ожидание наработки до отказа:
	MT	EXP 0			2	2 .				(4.34)
Дисперсия наработки до отказа:
DT EXP 2 0			2 EXP 2 1 .							(4.35)

Примерный вид и свойства логарифмически-нормального распределения представлены на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Примерный вид логарифмически нормального распределения

Гамма-распределение. Данное распределение также находит широкое применение в теории надежности, например, для анализа отказов, наступающих вследствие износа при выполнении следующих условий: качество изготовления элементов однородно, нагрузка в процессе эксплуатации изменяется в широких пределах, период приработки занимает небольшую часть времени эксплуатации.

В случае гамма-распределения плотность распределения вероятностей отказов имеет вид [2]:


a t	k tk 1	e t		t k 1		e t ,		(4.36)
				k 1 !
	Г k						Г k - гамма-функция, в
где и k являются параметрами распределения,
случае целых k определяющаяся как Г k k 1 ! .
Вероятность безотказной работы:
		k 1		i
	R t e t		t		,			(4.37)

		i 0		i!

интенсивность отказов:

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

t	t k 1				,	(4.38)
t	k 1 ! k 1			t i	,	(4.38)
	k 1 ! k 1
				i!
		i 0		i!
средняя наработка до отказа:		k
	Tср	k	,			(4.39)
	Tср		,			(4.39)
дисперсия наработки до отказа:
дисперсия наработки до отказа:
		T 2		.		(4.40)
	DT	ср
	DT	k
		k

Очевидно, что при k 1 гамма-распределение сводится к экспоненциальному. При дальнейшем увеличении k плотность гамма-распределения стремится к нормальному распределению. Вид зависимостей a t , R t , t и Tср для различных

k показан на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Примерный вид гамма-распределения.

Распределение Рэлея. Данное распределение часто встречается в практике и используется в основном для элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения. Распределением Рэлея называется распределение положительной случайной величины с плотностью:

a t t2 EXP 2 t 2 2 ,

где - параметр распределения.

Тогда вероятность безотказной работы определится как:

R t e 2 2 ,

интенсивность отказов:

t t2 ,

средняя наработка до отказа:

Tср 2 .

(4.41)

(4.42)

(4.43)

(4.44)

Примерный вид распределения Рэлея представлен на рис. 4.11.

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Рис. 4.11. Примерный вид распределения Рэлея.

Очевидно, что интенсивность отказов в распределении Рэлея пропорциональна времени работы.

Распределение Вейбулла. Данное распределение весьма удобно для описания длительности жизни материалов и широко применяется в последнее время для решения задач надежности. Распределение было предложено в 1939г. Проф. В. Вейбуллом. Позже, Б.В. Гнеденко было установлено, что этот закон представляет собой распределение экстремальных значений случайных величин. Распределение Вейбулла можно рассматривать как обобщение экспоненциального распределения, так как распределение имеет три параметра и сводится к экспоненциальному при подходящем выборе одного из них.

Плотность распределения закона Вейбулла в общем виде выглядит следующим образом:

f x c x a c 1 b b

	x a c
EXP			,	(4.45)

		b

при x a , b 0 , c 0 , (а),
где a - параметр положения, b - параметр масштаба,				c - параметр формы.
Функция распределения Вейбулла имеет следующий вид:
	x a c
F x 1 EXP			.	(4.46)

		b

Следует отметить, что при при c 1 график		f x	представляет собой колоко-
лообразную кривую и приближается к нормальному				распределению, а при

0 c 1 трансформируется в L - образную кривую, при этом функция убывает от x . При a 0 и c 1 распределение сводится к экспоненциальному, а при c 3,25

- к нормальному распределению.

Для получения определения математического ожидания и дисперсии необходимо произвести замену y x a b , тогда уравнения (4.45) и (4.46) запишутся

как

f y y c yc 1		EXP yc ,	(4.47)
Fy y 1 EXP yc .			(4.48)
В этом случае математическое ожидание определится как:
	1	,	(4.49)
MY 1		,	(4.49)
	c

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

M X					1						(4.50)
M X	a b 1					c		,			(4.50)
						c

где k EXP y yk 1dy , k 0	является гамма-функцией.
0
После интегрирования по частям получаем:
k k 1 k 1 ,											(4.51)
причем, если k - целое число, то:
	k k 1 !.										(4.52)
Дисперсия определится как:
DY			2		2				1		(4.53)
DY	1		c				1		c	.	(4.53)
			c						c
Обычно, при решении задач надежности принимают a 0 , тогда:
Вероятность отказа при распределении Вейбулла:
Q t 1				t				c
		EXP							,		(4.54)
		EXP							,		(4.54)
				b
				b

параметр потока отказов:

a t

t c 1

EXP

(4.55)

интенсивность отказов:

f x

c 1

(4.56)

F x

Средняя наработка до отказа:

(4.57)

Tср b 1

Примерный вид и свойства распределения Вейбулла представлен на рис. 4.12.

Рис. 4.12. Примерный вид распределения Вейбулла.

Основы надежности СЭУ, Чистяков А.Ю., 23.11.11 Закономерности распределения отказов

Следует отметить, что в случае необходимости работы с произвольным распределением, возможно выразить его с использованием распределения Шарлье. Также на практике часто требуется проанализировать совместное влияние нескольких факторов на надежность объекта (например, отказы вследствие износа и внезапные отказы; отказы вследствие износа, старения материала и коррозии и т.д.), т.е. когда отказы могут быть различны по характеру, при этом каждая группа отказов имеет свой закон распределения. В этом случае закон распределения времени безотказной работы будет являться суперпозицией распределений всех рассматриваемых групп факторов (отказов).

Контрольные вопросы

1.В чем различие между дискретными и непрерывными законами распределения?

2.Что называется простейшим потоком событий?

3.Назовите основные свойства и область применения биномиального закона распределения.

4.Назовите основные свойства и область применения распределения Пуассона.

5.Назовите основные свойства и область применения экспоненциального закона распределения.

6.Каков характер изменения интенсивности отказов сложного технического изделия в процессе его эксплуатации? Назовите основные периоды эксплуатации и их особенности.

7.Назовите основные свойства и область применения нормального закона распределения.

8.Назовите основные свойства и область применения усеченного нормального закона распределения.

9.Назовите основные свойства и область применения логарифмически нормального закона распределения.

10.Назовите основные свойства и область применения закона распределения Вейбулла

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете Судовые энергетические установки

#
18.04.2015159.43 Кб2602_Надежность_Терминология_надежности.pdf
#
18.04.2015327.17 Кб2703_Надежность_Показатели_надежности.pdf
#
18.04.2015471.06 Кб2404_Надежность_Закономерности_распред_отказов.pdf
#
18.04.2015339.4 Кб2505_Надежность_Статист_опред_ПН.pdf
#
18.04.2015456.85 Кб2506_Надежность_Надежность_сложн_систем.pdf