Рангом матрицы называется наивысший порядок минора, отличного от нуля. Для ранга матрицы A используют обозначение r( A).

ЗАМЕЧАНИЕ

Если ранг матрицы равен k, то из этого следует, что среди миноров k - ого порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.

При определении ранга матрицы в ней можно проводить следующие преобразования:

1.перемена местами строк или столбцов;

2.умножение (деление) строки(столбца) на число, отличное от нуля;

4.прибавление к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число;

5.вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк (столбцов);

6. вычеркивание нулевой строки (столбца).

Все эти преобразования меняют матрицу, но не меняют ее ранг. Принято знак перечисленных преобразований обозначать: ~ .

Задача 1.1.5

Поскольку в матрице три строки, то ее ранг не может быть больше трех. Все миноры третьего порядка матрицы Aравны нулю, а среди миноров второго порядка можно указать минор:

1.2. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Основные определения. Запись системы в матричном виде. Решение матричных уравнений. Теорема Крамера. Метод Гаусса. Теорема Кронекера-Капелли. Однородная линейная система. Фундаментальная система решений.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными записывается в виде:

свободными членами.

Таблица коэффициентов при неизвестных называется матрицей системы

8

столбцом свободных членов.

Если матрица системы A – квадратная, то ее определитель обозначается чаще всего через = A = det A и называется определителем системы.

Основными методами решения СЛАУ являются: метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любую СЛАУ.

1.2.1. Формулы Крамера

отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам

Вспомогательные определители:

9

Задача 1.2.3

1.2.3. Метод Гаусса

Рассмотрим СЛАУ систему m уравнений с n неизвестными

a11x1 + a12 x2 +K+ a1nxn = b1a21x1 + a22 x2 +K+ a2n xn = b2

LLLLLLLLLLL .

an1x1 + an2 x2 +K+ ann xn = bn

Матрица системы, к которой присоединен столбец свободных членов, отделенный от других столбцов вертикальной чертой, называется расширенной матрицей системы.

Элементарными преобразованиями в расширенной матрице системы называются преобразования, не меняющие множества ее решений. К элементарным преобразованиям относятся следующие преобразования:

1)перемена местами строк матрицы;

2)умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;

4)прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и тоже число;

5)вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;

6)вычеркивание нулевой строки;

7)перемена местами столбцов, кроме последнего за чертой с запоминанием, каком неизвестному соответствует каждый столбец.

Принято знак элементарных преобразований обозначать: ~ .

Целью метода Гаусса является приведение элементарными преобразованиями расширенной матрицы системы к такому виду, чтобы в n первых ее столбцах сформировалась единичная

матрица.

11