Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования «Санкт-Петербургский государственный морской технический университет»
(СПбГМТУ)
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ДИСЦИПЛИНЕ МАТЕМАТИКА
Направление подготовки: 180100 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры»;
Профили подготовки: 1.180100.62.01 «Кораблестроение», 1.180100.62.03 «Океанотехника».
Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр техники и технологии
Форма обучения: очная
Санкт-Петербург
2011
Раздел 2. Теория пределов и непрерывность функций
2.1. Теория пределов
Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Предельные и изолированные точки множества. Определение предела функции. Односторонние пределы. Бесконечные пределы и пределы на бесконечности. Основные теоремы о пределах: единственность предела, предельный переход в неравенстве, теорема о “cжатой” функции, первый замечательный предел, предел суперпозиции. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Неопределенности. Ограниченные и неограниченные функции. Ограниченность функции, имеющий конечный предел. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций, порядок и главная часть. Монотонные функции. Теоремы об односторонних пределах монотонной функции. Второй замечательный предел, число е, натуральные логарифмы, гиперболические функции.
2.1.1. Множества на числовой оси
Определение 2.1.1
Окрестностью радиуса h > 0 конечной точки x0 или h – окрестностью точки x0
называется множество чисел x , удовлетворяющих неравенству x0 −h < x < x0 +h , т. е.
множество (x0 − h; x0 + h) (рис. 2.1). Обозначается: Uh (x0 ) .
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x0 − h |
x 0 |
x0 +h |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1. |
||
Из определения следует, что если x Uh (x0 ) , то x удовлетворяет неравенству |
|||||||
|
x − x0 |
|
< h − h < x − x0 < h x0 − h < x < x0 + h . |
||||
|
|
||||||
Расширим систему вещественных чисел, |
добавив к ним два символа −∞ и + ∞ , |
||||||
которые назовём бесконечно удалёнными точками числовой оси. Определим для этих точек следующие свойства:
1)Если x R и является конечным числом, то
x+ ∞ = +∞ ; x −∞ = −∞ ; −x∞ = +x∞ = 0 ;
2)Если x > 0 , то x (+∞) = +∞ , x (−∞) = −∞;
3)Если x < 0 , то x (+∞) = −∞ , x (−∞) = +∞;
Определение 2.1.2
Пусть h > 0 . h –окрестностью точки (+∞) называется множество чисел x , удовлетворяющих неравенству x > h , т. е. множество (h; + ∞) (рис. 2.2), которое обозначается Uh (+∞) .
x
h |
+ ∞ |
2
Рис.2.2.
Из определения следует, что: x Uh (+∞) x > h .
Определение 2.1.3
Пусть h > 0 h –окрестностью точки (−∞) называется множество чисел x , удовлетворяющих неравенству x < −h , т. е. множество (−∞; − h) (рис. 2.3), которое обозначается Uh (−∞) .
x
−∞ |
−h |
|
Рис. 2.3.
Из определения следует, что: x Uh (−∞) x < −h .
Определение 2.1.4
Пусть h > 0 . Проколотой h –окрестностью точки x0 называется множество чисел, для
которого справедливо x Uh (x0 ) |
|
|
• |
|
и x ≠ x0 (рис. 2.4) и которое обозначается U h (x0 ) . |
||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x0 − h |
x 0 |
x0 +h |
|
Рис. 2.4.
•
Из определения следует, что: x U h (x0 ) x − x0 < h, x ≠ x0 0 < x − x0 < h .
Определение 2.1.5
Точка x0 называется предельной точкой множества X , если в любой проколотой окрестности точки x0 находится хотя бы один элемент данного множества X .
ЗАМЕЧАНИЕ 1
Можно показать, что в любой окрестности точки сгущения находится бесконечное множество элементов множества X .
ЗАМЕЧАНИЕ 2
Предельная точка может принадлежать множеству, но может ему и не принадлежать. Например, для множеств (1; 2) и [1; 2] точки 1 и 2 являются предельными точками.
Определение 2.1.6
Точка, принадлежащая множеству и не являющаяся его предельной точкой,
называется изолированной.
Например, во множестве натуральных чисел N каждая конечная точка является
изолированной. Множество имеет единственную |
предельную |
точку |
x0 = +∞ . |
||
Действительно, в любой окрестности точки |
x0 = +∞ , т.е. |
в |
окрестности |
||
Uh (+∞) = (h; + ∞) находится бесконечное множество натуральных чисел (рис. 5). |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 3 4 5 6 h 7 8 9 |
+ ∞ |
|
|
|
|
Рис. 2.5. |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|