z
O
y
x
Рис. 1.5.4.
x == ϕ(t)
Линия на плоскости также может быть задана параметрическими уравнениями ( ) ,
y = ψ t
t R , t – параметр.
Кривые на плоскости, заданные параметрическими уравнениями
Окружность |
R |
x = Rcost |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− R |
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
||
y = Rsin t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
R – радиус |
|
|
|
|
|
|
− R |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Эллипс |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x = acost |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = bsin t |
|
|
− |
a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
||||
a и b полуоси |
|
|
|
|
|
|
−b |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Астроида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a cos |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
x |
|||||||
y = bsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
a. b > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b |
|
|
|
|
|
|
||||
Циклоида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = a(t −sin t) |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = a(1 − cost), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
a > 0 , T = 2πa – период. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|||||||
−2πa |
|
|
|
|
|
|
|
2πa |
|
|
4π |
|||||||||
Задача 1.5.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
Построить кривую, заданную уравнениями |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
−t |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение
При всех значениях t |
x ≥ 0 . |
Следовательно, |
кривая расположена в правой полуплоскости. |
||||||||||||||||||||||||
Корнями |
функции |
являются |
x1 = 0 , |
так как y(0)= 0 |
|
и |
|
x(0)= 0 , а также |
x2 =1, |
так как |
|||||||||||||||||
y(± |
1 |
)= 0 и |
|
x(± |
1 |
)=1. |
При |
t → ±∞ |
x → +∞, а |
y → ±∞. |
Значит, кривая |
не |
является |
||||||||||||||
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
однозначной и имеет две ветви. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если |
t (0; |
1 |
), то x (0; 1), а |
y > 0 . Если |
|
t (1 |
|
; + ∞), то x (1; + ∞), |
а |
y < 0 . Если |
|||||||||||||||||
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t (− |
1 |
; 0), то x (0; 1), а y < 0 . Если t |
(− ∞; − |
|
1 |
), то x (1; + ∞), а y > 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вычислим |
производные |
′ |
и |
′ |
′ |
|
|
|
|
′ |
|
2 |
−1. Поскольку |
производная |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x (t) |
y (t), |
x (t)= 9t , |
y |
(t)= 9t |
|
||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y (t)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– точки экстремума (рис. 1.5.5). В этих |
|||||||||||||
при t = ± 3 и меняет знак в этих точках, то t = ± |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
. Кривая построена на рисунке 1.5.6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
точках |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
y = ± |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
− |
+ |
1 |
1 |
3 |
|
|||
− 1 |
1 |
|
x |
|
3 |
3 |
|
|
|
max |
min |
|
|
|
Рис. 1.5.5. |
|
Рис. 1.5.6. |
||
1.5.6. Полярная система координат
|
M |
|
ϕ |
O |
x |
|
Рис. 1.5.7. |
Полярная система координат задана, если задана точка O , называемая полюсом, и исходящий из полюса луч Ox , который называется полярной осью. Положение любой точки M в полярной системе координат однозначно определяется ее полярными координатами: полярным радиусом ρ- расстоянием от полюса O до точки M и полярным углом ϕ – углом поворота
полярной оси до совпадения с вектором OM (рис. 1.5.7). В полюсе полярный радиус ρ = 0, а полярный угол не определен. Для всех точек плоскости, не совпадающих с полюсом, ρ > 0.
Полярный угол измеряется в радианах и считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярный угол определяется с точностью до 2πk , где k - целое число. Это означает, что точки с полярными координатами (ρ, ϕ) и (ρ, ϕ + 2πk ) при целом k совпадают.
Если задана полярная система координат, то каждой паре чисел (ρ, ϕ), из которых ρ ≥ 0, соответствует точка плоскости, для которой эти числа являются ее полярными координатами. Если ρ > 0, то эта точка расположена на луче, составляющим угол ϕ с полярной осью Ox , на расстоянии ρ от полюса. При ρ = 0 точка совпадает с полюсом.
38