Сравнивая (1) и (2), получим (a,b)=

ar

b

cosα.

Задача 1.4.1

3

m

При каком значении m

−2

4

векторы a =

и b =

ортогональны?

1

0,5

Решение

(a ,b )= 3 m +(−2) 4 +1 0,5 =3m −7,5 . Из

условия ортогональности векторов следует:

3m − 7,5 = 0 , или m = 2,5 .

Задача 1.4.2

Вычислите

cr

, если c = 5 p − 2 q ,

pr

= 3 ,

qr

= 4 , pr qr = 60o .

Решение

c

2 = (c, c)= (5 p −2q, 5 p −2q )= 25(p, p)−20(pr, qr)+ 4(qr, qr)=

= 25

p

2

−20

p

q

qr

2

= 25 9 −20 3 4 cos 60o + 4 16 =169 .

cos p

q + 4

cosα =

(ar,b )

r

r

.

a

b

Задача 1.4.3

B в треугольнике ABC , если A(2,−1,4),

Найдите внутренний угол A и внешний угол

B (4,0,2) и C (2,−3,1).

4

− 2

2

2 − 2

0

2 − 4

− 2

0

+1

1

− 2

−3 − 0

−3

AB =

=

, AC =

−3 +1

=

, BC =

=

.

2

− 4

− 2

1 − 4

−3

1 − 2

−1

угла, например косинус. поэтому

cos A =

(AB, AC )

=

2 0 +1 (−2)+(−2) (−3)

=

AB

AC

22 +12 +(−2)2 02 +(−2)2 +(−3)2

=

0 − 2 + 6

=

4

=

4

.

cos B =

(AB,

BC)

=

4 +1

+ 4 0 + 4 + 9

9 13 3 13

AB

BC

=

2 (− 2)+1 (−3)+ (− 2) (−1)

=

−4 −3 + 2

=

−5

.

22 +12 + (− 2)2 (− 2)2 + (−3)2 + (−1)2

4

+1+ 4 4 +9 +1 3

14

2. Вычисление проекции вектора на направление другого вектора

Проекция вектора a на направление вектора b (Прb a)вычисляется по формуле:

Пр a =

a

cos α =

(a

,

b), (рис. 1.4.3).

b

b

ar

a

α

b

α

b

Прbra

Прbra

Рис. 1.4.3.

Задача 1.4.4

−4

2

Найдите

проекцию

вектора

a + 2 b

на

вектор

MN ,

если

a =

3 ,

b =

− 6 ,

M (3; −2;−5), N (3; 4; 3).

−1

2

Решение

(a +

MN ).

Пр

MN

(ar

+ 2br)=

2b,

MN

− 4

−

4 +

− 3

2

4

0

3

0

3

− 6

3

−12

− 9

4

+ 2

6

a + 2b =

+ 2

=

=

.

MN =

=

.

2

−

1 +

4

3

3

+ 5

8

−1

Пр

(a + 2b)=

0 0 +

(−9) 6 +3 8

=

−54 +24

=

−30

= −30 = −3 .

MN

02 +62 +82

36 +64

100

10