ar определяются через его координаты по формулам:
cos α = |
x |
|
; cosβ = |
y |
; cos γ = |
z |
|
|
|
|
|
. |
|||
x2 + y |
2 + z 2 |
x2 + y2 + z2 |
x2 + y2 + z2 |
||||
Из формул для направляющих косинусов ясно, что если вектор образует с координатной осью острый угол, то соответствующая координата положительна, и если этот угол больше 90o, то
r |
|
−2,7 |
|
|
|
5,2 |
|
Oy |
|
соответствующая координата отрицательна. Например, вектор a |
= |
образует с осями |
||
|
|
1,25 |
|
|
|
|
|
|
и Oz острые углы, а с осью Ox тупой.
Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению: cos2 α + cos2 β + cos2 γ =1.
Задача 1.3.7
Может ли вектор образовывать с координатными осями углы 60o, 120o и 135o ?
Решение
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
cos |
|
α +cos |
|
β+cos |
|
γ = ( |
|
) |
+ (− |
|
) |
+ |
− |
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
=1 . Да, может. |
||
|
|
|
2 |
2 |
2 |
4 |
4 |
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 1.3.8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Найти орт вектора a |
= |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение
Ортом вектора называется вектор, который сонаправлен с данным и модуль которого равен 1. Чтобы найти его, нужно нормировать заданный вектор, т.е. разделить его на длину вектора.
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ar |
|
|
3 |
|
|
Поскольку |
|
|
= 1 + 4 + 4 = 3 , то ортом является вектор e = |
− |
2 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
− |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1.4. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов
Скалярное произведение двух векторов, его свойства, механический смысл. Признак перпендикулярности векторов. Вычисление скалярного произведения в ортонормированном базисе. Векторное произведение двух векторов, его свойства, и механический смысл. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. Смешанное произведение векторов и его свойства. Признак компланарности векторов Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Двойное векторное произведение. Переход к новому базису. Перенос в пространстве начала системы координат и ее поворот. Преобразование системы координат на плоскости.
23