Lektsii_VychMat_6-8
.pdf
|
|
Приближённое решение |
|
обыкновенных |
|
дифференциальных уравнений |
|
|
(ОДУ) |
|
|
Постановка задачи. Классификация методов.
Пусть имеется задача Коши для ОДУ 1-го
порядка: |
|
|
|
|
|
|
y' = f (x, y) , |
|
|
y(x0) = y0 . |
|
Здесь: f (x, y) - известная функция, x0 |
и y0 - |
|
известные числа, y = y(x) - искомая |
|
|
функция (решение задачи). |
|
|
|
|
|
(1)
(2)
«Точные» методы, позволяющие выразить
специальных классов уравнений: линейных, однородных, с разделяющимися переменными и т.п. (да и само интегрирование может оказаться сложной задачей).
Поэтому на практике часто приходится использовать различные приближённые методы.
решение через интегралы от известных функций, существуют лишь для некоторых
Приближённые методы решения ОДУ
можно подразделить на аналитические и
Аналитические методы дают приближённое решение в виде некоторого
численные.
аналитического выражения (например, полинома).
Численные методы позволяют получить приближённое решение непосредственно в виде таблицы значений искомой функции.
Аналитические методы. |
|
|
|
|
|
Нахождение решения с помощью |
|
|
степенного ряда. |
|
|
Пусть имеется задача Коши для ОДУ 1-го |
|
|
|
|
|
порядка: |
y' = f (x, y) |
(1) |
|
y(x0) = y0 . |
(2) |
Если f (x, y) - аналитическая функция в точке (x0 , y0 ) , т.е. может быть представлена в виде ряда
¥ |
|
f (x, y)= åc j ,k ×(x - x0 )j ×(y - y0 )k , |
|
|
|
j ,k =0 |
|
сходящегося в некоторой окрестности этой |
|
точки, то решение задачи Коши также |
|
можно представить в виде ряда Тейлора:
¥
y(x)= åck ×(x - x0 )k ,
k =0
сходящегося в некоторой окрестности точки x0 .
|
y(k )(x ) |
|
|
|
|
|
||
ck = |
0 . |
|
1 |
||
|
k! |
|
Очевидно: c0 = y(x0) = y0 .
Для нахождения c заметим, что если y (x) - |
|
|
|
решение уравнения (1), то имеет место |
|
тождество |
|
y' (x) º f (x, y (x)). |
(3) |
Полагая x = x0 , получим: |
|
c1 = y' (x0) = f (x0 y0). |
|
Для нахождения остальных коэффициентов |
|
|||||
|
|
|
|
|
||
¢¢ |
нужно продифференцировать тождество |
¢ |
||||
|
d |
|
¢ |
¢ |
||
|
(3) соответствующее количество раз. |
|
||||
Так, например: |
|
|
|
|||
y (x)= |
|
f (x, y(x))= fx (x, y(x))+ f y (x, y(x))× y (x). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
dx
Отсюда
y¢¢(x0 )= fx¢(x0 , y0 )+ f y¢ (x0 , y0 )× y¢(x0 ).
Ограничиваясь некоторым cn , приближённо полагаем:
n
y(x)» åck ×(x - x0 )k .
В силу сходимости ряда, взяв n достаточно большим, погрешность этого
k =0
приближения можно сделать сколь угодно малой.
Этот метод можно применить и в случае задачи Коши для ОДУ порядка m >1:
y(m) = f (x, y, y¢,..., y(m-1) ),
|
|||
y(x0 )= y0 , |
|||
|
|
|
|
¢ |
|
¢ |
, |
y (x0 )= y0 |
|||
... |
|
|
|
|
|
|
|
y(m-1)(x |
)= y(m-1) . |
||
0 |
|
|
0 |
При этом коэффициенты c0 ,…, cm-1 находятся из начальных условий,
cm = m1! y(m)(x0 )= m1! f (x0 , y0 , y0¢ ,..., y0(m-1) ),
а остальные – после дифференцирования соответствующего тождества.