Lektsii_VychMat_6-8
.pdf5)Вычислить Dy = h·f (x, y).
6)Заменить Dy на (Dy + h·f (x + h, y + Dy) )/2.
7)Заменить x на x + h .
8)Заменить y на y + Dy .
9)Заменить i на i + 1.
10)Если i < n , то перейти к п. 5.
11)Если Y не определено, перейти к п. 13.
12)Если |Y – y| £ e1 , то Ответ: y , СТОП.
13)Положить Y = y.
14)Заменить n на 2n и перейти к п. 1.составить самостоятельно!)
Приближённое решение краевой |
||
|
|
|
задачи для ОДУ 2-го порядка. |
|
|
|
|
|
Постановка задачи. |
|
|
Имеется ОДУ 2-го порядка: |
|
|
|
|
(1) |
F(x, y, y', y") = 0, |
||
где F(…) – известная функция.
Требуется найти функцию y (x), дважды дифференцируемую на заданном отрезке [a, b] , удовлетворяющую уравнению (1) а также условиям:
j1(y(a), y' (a)) = 0, j2(y(b), y' (b)) = 0 (2) |
|||||
|
|
|
|||
где j1(·,·) и j2(·,·) – известные функции. |
|||||
Условия 2 называют граничными (или |
|||||
краевыми) условиями. |
|||||
|
|
|
и условия (2) – |
||
Если уравнение (1) |
|||||
линейные: |
|
¢ |
|
||
y |
¢¢ |
+ p(x)× y |
+ q(x)× y = f (x), |
||
|
|
||||
a1 × y(a)+ b1 × y¢(a)= g1 , a2 × y(b)+ b2 × y¢(b)= g 2 .
то краевую задачу называют линейной.
В частности, если a1 = a2 = 1, b1 = b2 = 0 - граничные условия 1-го рода:
|
y(a)= g1 |
, |
|
|
|
y(b)= g 2 |
, |
|
|
и задачу называют краевой задачей 1-го |
||||
рода. |
|
|
||
|
|
|
|
|
Аналогично, если a1 = a2 |
= 0, b1 = b2 = 1 - |
|||
граничные условия 2-го рода: |
||||
|
|
¢ |
|
, |
|
y (a)= g1 |
|||
|
|
¢ |
|
, |
|
y (b)= g 2 |
|||
и задачу называют краевой задачей 2-го |
||||
рода. |
|
|||
Метод Галёркина
|
|
|
|
|
|
Пусть имеется линейная краевая задача: |
|
|
y¢¢ + p(x)× y¢ + q(x)× y = f (x), |
(1) |
|
|
¢ |
|
a1 × y(a)+ b1 × y (a)= g1 , |
|
|
|
¢ |
(2) |
a2 × y(b)+ b2 × y (b)= g 2 . |
|
|
Здесь p(x), q(x), f (x) – известные функции, непрерывные на заданном отрезке [a, b] , aj , bj , gj – известные числа,
причём | aj | + | bj | ¹ 0.
Обозначив:
исходную краевую задачу запишем в виде:
|
||
|
|
|
Ly º y¢¢ + p(x)× y¢ + q(x)× y , |
||
|
|
¢ |
l1 y º a1 × y(a)+ b1 × y (a) , |
||
l2 y º a2 × y(b)+ b |
¢ |
|
2 × y (b) . |
||
|
|
|
Ly = f (x),
l1 y = g1 , l2 y = g2 .
(1)
(2)
Зададим линейно независимую систему функций: j0(x), j1(x), … , jn(x),
дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке [a, b], таких, что j0(x)
удовлетворяет граничным условиям (2), |
||||||
|
|
|
|
|
||
а остальные - соответствующим |
||||||
однородным условиям: |
|
|
||||
l j = g |
, l j = g |
, |
||||
1 |
0 |
1 |
2 |
0 |
2 |
|
l1 jk = 0 , l2 jk = 0 , |
|
|||||
|
k = 1, … , n . |
|
||||
|
||||||
Приближённое решение краевой задачи
|
||
будем искать в виде: |
|
|
|
n |
|
yn (x)= j0 (x)+ åck ×jk (x), |
||
|
k =1 |
|
где c1, … , cn – неизвестные коэффициенты. |
||
|
|
|
Нетрудно видеть, что yn(x) |
удовлетворяет |
|
граничным условиям: |
|
|
|
n |
|
l j yn = l jj0 + åck |
× l jjk = g j |
|
{ |
k =1 |
{ |
g j |
|
0 |
(здесь j = 1 или 2).
Коэффициенты c1, … , cn будем выбирать так, |
||||||
|
|
|
|
|||
чтобы при подстановке yn(x) в уравнение (1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
разность между левой и правой частями: |
|
|||||
Ly |
(x)- f (x)= Lj |
(x)- f (x)+ |
n c |
× Lj |
(x) |
|
n |
|
0 |
|
å k |
k |
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
- «невязка» - была ортогональна каждой из функций j1(x), … , jn(x), т.е.
(Lyn - f ,ji )= òb (Lyn (x)- f (x))×ji (x)dx = 0.
a
Это приводит к системе n линейных
алгебраических уравнений для неизвестных |
|
М.В.Келдышем в 1942 году. |
|
коэффициентов: |
|
n |
|
å(ji ,Ljk )×ck = (ji , f - Lj0 ), |
|
k =1 |
|
|
= 1,...,n. |
i |
|
Метод приобрёл популярность после работ Б.Г.Галёркина (1915). Ранее его применял И.Г. Бубнов (1913) для решения задач теории упругости. Поэтому иногда его называют методом Бубнова — Галёркина. Теоретическое его обоснование было дано советским математиком