Lektsia_VychMat_9
.pdf
|
|
Нахождение собственных |
|
чисел и собственных |
векторов |
|
|
матрицы |
|
|
|
|
При решении многих задач, в частности – |
||
|
|
|
систем линейных дифференциальных |
|
|
уравнений, приходят к однородной СЛАУ |
||
|
AX = lX , |
(1) |
где A - известная матрица n ´ n , |
|
|
X - неизвестный вектор:
æ a |
a |
L a |
ö |
æ x |
ö |
||
ç |
11 |
12 |
|
1n |
÷ |
ç 1 |
÷ |
ça21 |
a22 |
L a2n |
÷ |
ç x2 |
÷ |
||
A = ç |
M |
M |
M |
M |
÷ , X |
= ç M |
÷ . |
ç |
|
|
|
|
÷ |
ç |
÷ |
ç |
|
an2 |
L ann |
÷ |
ç |
÷ |
|
èan1 |
ø |
è xn |
ø |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Числа l , для которых существуют |
|
||||||
нетривиальные |
решения системы (1) |
||||||
называют собственными числами |
|
||||||
матрицы A, а соответствующие векторы X |
|||||||
- её собственными векторами. |
|
||||||
|
|
|
|||||
Замечание 1. Пусть l0 |
- собственное число |
|||||||
|
|
|||||||
матрицы A, а X0 |
- соответствующий |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
собственный вектор, т.е. справедливо |
||||||||
равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A X0 = l0 X0 . |
|
|||||
|
A X |
|
= l AX , |
|||||
Умножая обе части этого равенства на A, |
||||||||
получим: |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 {0 |
||||
|
|
|
0 |
|
||||
т.е. |
|
|
|
|
|
l0 X 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 X = l |
2 X |
0 |
. |
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
Аналогично имеем для любого натурального
k : |
|
||
|
|
|
|
|
Ak X |
= l k X , |
|
|
0 |
0 |
0 |
а это означает, что l0k |
есть собственное |
|
число матрицы A , а X - соответствующий |
||
|
k |
0 |
|
||
собственный вектор.
Систему (1) можно записать в виде: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(A - lE)X = 0 , |
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|||
|
|
æa - l |
a |
a |
ö |
||||||||
|
|
ç |
11 |
|
|
|
|
12 |
L |
|
|
1n |
÷ |
|
|
|
a |
|
|
a - l |
a |
|
÷ |
||||
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
2n |
|||
A - lE = |
ç |
|
21 |
|
|
|
|
|
|
||||
ç |
M |
|
|
M |
M |
|
M |
÷ . |
|||||
|
|
ç |
|
|
|
|
|
|
L a |
|
|
|
÷ |
|
|
ç |
a |
|
|
a |
|
|
|
- l ÷ |
|||
|
|
è |
|
n1 |
|
|
|
n2 |
|
nn |
|
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Поскольку система (2) всегда имеет решение X = 0 , то необходимым и достаточным условием существования решения X ¹ 0 будет равенство нулю её определителя:
|
|
|
|
|
det(A - lE) = 0 . |
|
|
(3) |
||||||||
Тогда |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таким образом, нахождение собственных чисел |
||||||||||||||||
сводится к отысканию корней уравнения (3). |
||||||||||||||||
Рассмотрим случай: n = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
21 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
det(A - lE)= |
|
a11 |
- l |
a |
a12 |
|
|
= |
(a |
- l)×(a - l)- |
||||||
|
|
|
|
a |
|
|
- l |
|
|
|
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
- a ×a |
21 |
= l2 |
|
- (a + a |
22 |
)l + a |
|
×a |
22 |
- a ×a |
21 |
. |
||||
|
|
|||||||||||||||
12 |
|
|
|
11 |
|
|
11 |
|
12 |
|
||||||
(Случай: n = 3 рассмотреть самостоятельно!).
Нетрудно видеть, что в общем случае
|
det(A - lE) = (-1)n·P(l), |
||||
- «след» матрицы A. |
|||||
где |
|
|
|
|
|
|
P(l) = ln + p ln-1 + p ln-2 |
+ … + p |
|||
|
|
1 |
|
2 |
n |
- полином степени n относительно l |
|||||
|
|
|
|
|
|
(собственный полином матрицы A). |
|||||
Можно также заметить, что |
|
|
|||
|
|
p1 = - tr(A), |
|
||
где |
tr(A) |
n |
|
|
|
|
= åaii |
|
|||
i=1
(4)
(5)
С другой стороны, т.к. P(0) = pn , то
|
|
p = (-1)n·det(A). |
|
n |
|
Однако нахождение всех коэффициентов полинома P(l) при больших значениях n путём непосредственного «раскрытия» определителя требует весьма громоздких алгебраических преобразований.
Поэтому на практике используют специальные приёмы, позволяющие строить P(l), минуя вычисление определителей.
Зная выражение для P(l), можно найти его корни, применяя какой-нибудь известный метод, а затем – для каждого из корней
найти нетривиальные решения системы (2), например, используя идею метода Гаусса.
Существуют также методы, позволяющие параллельно находить собственные числа и собственные векторы матрицы.