Lektsia_VychMat_9
.pdfМетод Леверье |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть полином |
|
|
|
||
P(l) = (-1)n·det(A - lE) |
|
||||
- имеет вид (4): |
|
|
|
|
|
|
|
ln-1 |
+ p ln-2 |
+ … + p . |
|
P(l) = ln + p |
|||||
|
1 |
|
2 |
|
n |
Его корни (собственные числа матрицы A) обозначим:
l1, l2, … , ln
(среди них могут быть и совпадающие).
Записывая P(l) в виде
и раскрывая скобки, заметим, что
коэффициент при ln-1 :
P(l) = (l - l1)·(l - l2) … ·(l - ln),
p1 = -ån li .
i=1
Сравнивая это с (5), получим важный результат:
n
åli = tr(A)
i=1
(6)
(7)
Формула (6) является одной из формул |
||||||||||||
|
|
|||||||||||
Ньютона: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
p1 = -S1 , |
|
|
|
|
||||||
|
|
p |
= - |
1 |
S |
+ p × S |
, |
|||||
p |
2 |
|
|
|
|
( |
2 |
|
1 1 ) |
k ³ 2 , (8) |
||
= - S + |
|
p × S |
|
|||||||||
и вообще, |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
1 æ |
|
|
|
k -1 |
|
|
ö |
|
|||
k |
|
|
ç |
k |
|
|
å j |
k - j ÷ ( |
) |
|||
|
|
|
||||||||||
|
|
k è |
|
|
|
j=1 |
|
|
ø |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Sk |
= å(li )k . |
|
||||||
i=1
Согласно формуле (7), означающей, что |
|
|
|
(9) |
|
|
S = tr(Ak). |
|
сумма собственных чисел матрицы равна |
|
|
её следу, с учётом замечания 1, можно |
|
|
утверждать, что |
|
|
|
k |
|
Таким образом, найдя S1, S2, …, Sn по формуле (9), последовательно вычислим
p1, p2, …, pn по формулам (8).
Urbain Jean Joseph Le Verrier |
|
(1811-1877) |
|
|
|
|
|
|
|
Метод Д.К.Фаддеева |
|
|
|
|
|
Данное видоизменение метода Леверье не |
|
только позволяет вычислять коэффициенты |
|
собственного полинома матрицы, но и даёт |
|
|
|
возможность эффективно находить матрицу, обратную данной, а также может быть применено и для получения её собственных векторов.
Д.К.Фаддеев предложил вместо матриц A , A2 , … , An использовать матрицы
A1 |
, A2 , … , An , построенные следующим |
||||||||||
A2 |
|
|
|
||||||||
= AB1 , |
q2 |
= |
, B2 |
= A2 - q2 E , |
|||||||
образом: |
q1 = tr(A1 ), B1 = A1 - q1E , |
||||||||||
A1 = A, |
|
||||||||||
|
|
|
|
tr(A2 ) |
|
|
|
||||
L |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
tr(An ) |
|
|
|
||
A = AB |
, q |
= |
, B = A - q |
E . |
|||||||
|
|||||||||||
n |
|
n-1 |
n |
|
|
|
n |
n |
n n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При этом будут справедливы следующие
2)Bn – нулевая матрица,
3)Если матрица A - невырожденная, то
Далее: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
A |
= AB = A(A |
|
|
|
|
|
+ p A. |
|
||||||||
|
– q E) = A(A + p E) = A2 |
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
Отсюда: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
q |
= |
1 |
tr(A |
|
)= |
1 |
(tr(A2 )+ p tr(A))= |
1 |
(S |
+ p S |
) |
||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
1 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Сравнивая это с формулой (8), имеем: p2 = – q2 . |
|||||||
Аналогично, |
|
|
|
||||
A |
3 |
= AB = A(A |
2 |
– q E) = A(A2 + p A + p E) = |
|||
|
2 |
|
2 |
1 |
2 |
||
|
|
|
= A3 + p A2 |
+ p A, |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
что даёт:
q = |
|
1 |
tr(A )= |
|
1 |
(S |
|
+ p S |
|
+ p S ) , |
|||
|
|
|
3 |
2 |
|||||||||
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|||
|
|
||||||||||||
индукции). |
|
|
|
|
|
||||||||
и значит, |
3p3 = – q3 |
.3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
(для полного доказательства утверждения 1 |
|||||||||||||
можно применить принцип математической |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Действуя, как и в предыдущем пункте, |
|||||||||||||
можно записать: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
B = An + p An-1 |
+ p An-1 |
+… + p E = P(A). |
|||||||||||
n |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|||
Отсюда, по теореме Гамильтона-Кели, согласно которой P(A) – нулевая матрица, получим утверждение 2.