Вычислительная математика. Лекции

Оценим величину j

ij.

i = 6f00(xi) + h[f000( 1) f000( 2)] 4f00(xi) (fi00 1 + fi00+1) =

= f00(xi) f00(xi 1) + h[f000( 1) f000( 2)] = f000( 3)h f000( 4)h + h[f000( 1) f000( 2)]

j

ij

4M

h; M

= max

f000(x)

:

3

3

x

j

j

Итак

max

j

r00(x )

2M

h

.

i

i j

3

2. Оценим jri00(x)j = jSi00(x) f00(x)j.

Ясно, что Si00(x) f00(x) = Ci + di(x xi) f00(x).

Согласно (С):

Ci+1 Ci

di =

;

h

и

r00(x) = C

i

+

Ci+1 Ci

(x

x

)

f00(x) = C (1

x xi ) + C

i+1

x xi

f00(x) = C

(1

t) + tC

i+1

f00(x)

, где

i

h

i

i

h

h

i

t =

x xi

; t

2

[0; 1]:::::::::::

h

: r00(x

(Д)

00(x

= f00(x

) + r00

= f00(x

) + r00

В узлах

x

i

) = C

f

)

C

i

(x

); C

i+1

(x

i+1

)

.

i

i

i

i

i

i

i

i+1

i+1

x

2

[x

; x ]

, такая что

r0

(x ) = 0

.

i

i 1

i

i

i

x );

Так как

r0

(x) = r0(x ) + r00( )(x

2

[x

; x ]

i

i

i

i

i 1

i

jri0(x)j 3M3h2

4. Оценка jri0(x)j, x 2 [xi; xi+1]:

Построим функцию (t) переменной t:

(t) = f(t)

S

(t)

f(x) Si(x)

:

i

(x xi)(x xi+1)

При t = xi

(xi) = 0, при t = xi+1

(xi+1) = 0 при t = x (x) = 0

Тогда существует значение t 2 [xi; xi+1], при котором 00(t ) = 0:

f00(t )

S00

(t )

f(x) Si(x)

2 = 0

(x xi)(x xi+1)

i

f(x) Si(x) =

1

[f00(t )

Si00(t )](x xi)(x xi+1)

2

jri(x)j

1

3M3h

h2

3

M3h3:

=

2

4

8

Таким образом верна

Теорема. Если f 2 C3[x0; xN ], то методические погрешности интерполяции чертежными сплайнами

равны

класса S3;2

3

r(x)

j

M

h3;

j

r0(x)

j

3M

h2;

j

r00

(x)

j

3M

h:

8

j

3

3

3

F

= 6

fi 1 2fi + ff+1

;

j

F

<

24

"

j

i

i

h2

h2

2:

A 1

1

C

= max C

1 max F

P

Матрица системы для коэффициентов Ci-матрица с диагональным преобладанием и jaiij

jaijj = 4 2 =

Норма обратной матрицы jj

и jj

j6=i

jj1 2

jj1

i

j

ij 2

i j ij

12

j Cij <

":

h2

Ci Ci 1

24

fi+i fi

1

1

Так как di =

h

, то j dij h3 ". Величина bi =

h

3 (Ci +

2 Ci+1)h и

2

1

12

6

8

j bij

" +

h(

+

) =

":

h

3

h2

h2

h

Наконец, для Si(x) = fi + bi(x xi) + 21 Ci(x xi)2 + 61 di(x xi)3 получаем оценку

j Si(x)j < 19":

Для

S0()x = b

+ C

(x

x ) + 1 d

(x

x

)2

; S00

= C + d (x

x

)

получаем оценки:

i

i

i

i

2 i

i

i

i

i

i

S0

(x)

j

<

32

";

j

S00

(x)

j

<

36

":

h2

j

i

h

i

H

= f

+ f0

(x

x

) +

1

C

(x

x

)2 +

1

(x

x

)3

2

3!

i+1

i+1

i+1

i+1

i+1

i+1

i+1

1.Условие непрерывности сплайна в узле xi : Hi(xi+1) = Hi+1(xi+1)

f

= f + f

0h

+

1

C

h2

+

1

d h3

2

i+1

i

i

i

i

i

3!

i

i

или

1

fi+1 fi fi0hi

Ci

+

dihi = 2

3

h2

i

2.Условие непрерывности производной Hi(x) в точке xi+1:

Hi0+1(xi+1) = Hi0(xi+1);

H0

(x) = f0

+ C

(x

x

) +

1

d

(x

x )2

;

i

i

i

i

2

i

i

f

0

= f + C

h

+

1

d

h2;

2

или

i+1

i

i

i

i

i

1

fi0+1 fi0

Ci

+

dihi =

2

hi

Таким образом получаем систему:

(

Ci + 1 dihi =

fi0+1 fi0

;

2 fi0;

i = 1; : : : ; N

1

Ci +

1 dihi = 2fi+12 fi

2

hi

3

hi

hi

Её решение получаем мгновенно:

1

f0

f

0

2

f

f

f0

+ f0

f

f

d

h

=

i+1

i

+

f0

2

i+1

i

=

i+1

i

2

i+1 i

;

hi2