Peterburgsky_zadachnik_Lineynaya_algebra (1)

5)элементарная трансвекция tij (λ) = e + λeij , i 6=j, λ A;

6)элементарное псевдоотражение di(ε) = e+(ε−1)eii, ε K ;

7)матрица транспозиции wij = e − eii − ejj + eij + eji, i 6=j;

8)означенная матрица транспозиции weij = e −eii −ejj + eij −

M(m, n, A), где e единичная матрица порядка r?

8.2.Вычислить коммутатор пары элементарных трансвекций.

8.3.Следующие матрицы над полем характеристики 0 представить как произведения элементарных трансвекций и псевдо-

41

8.4.Пусть a, b пара конечных матриц над полем, такая, что существует ab. Доказать, что rk(ab) 6 min{rk(a), rk(b)}.

8.5.Пусть a M(m, n, K). Доказать, что rk(a) = m тогда и только тогда, когда существует матрица b M(n, m, K) такая, что ab = e.

8.6.Пусть a M(m, n, K).

а) Доказать, что если матрица a>a обратима, то rk(a) = n. б) Доказать, что если K = R и rk(a) = n, то a>a обратима. в) Привести пример комплексной матрицы a с линейно неза-

висимыми столбцами, для которой матрица a>a необрати-

ма. Сформулировать аналог утверждения пункта (b) для

K = C.

8.7.Пусть поле F расширение поля K, a M(n, K). Доказать, что минимальные многочлены матрицы a над полями K и F совпадают.

8.8.Пусть a, b M(n, K). Всегда ли верно, что матрицы ab и ba имеют один и тот же минимальный многочлен?

8.9.Пусть a GL(n, C). Доказать, что существует нижняя треугольная матрица b такая, что матрица ba унитарна.

8.10.Пусть a вещественная симметрическая матрица такая, что an = e для некоторого n N. Доказать, что a2 = e.

8.11.Пусть a, b M(n, K) коммутирующие матрицы, причем матрица b нильпотентна. Доказать, что характеристические многочлены матриц a и a + b совпадают (в частности, det(a + b) = det(a)).

8.12.Доказать, что матрицы a, b M(n, C) имеют общее соб-

ственное число тогда и только тогда, когда существует ненулевая матрица p M(n, C) такая, что ap = pb.

8.13.Пусть у двух матриц a, b M(n, C) совпадают как ха-

рактеристические, так и минимальные многочлены.

а) Доказать, что если n = 3, то матрицы a и b подобны. б) Справедливо ли то же заключение для n = 4?

8.14. Найти множество всех (комплексных) собственных чисел матриц a M(n, R) таких, что a2 = a>.

42

8.15.Пусть a GL(n, C). Как связаны между собой характеристические многочлены матриц a и a−1?

8.16.Пусть a, b GL(n, C) таковы, что aba> = b. Доказать, что характеристические многочлены матриц a и a−1 совпадают.

8.17.Пусть u M(m, n, R), m > n, матрица, столбцы ко-

торой попарно ортогональны и нормированы. Зная собственные числа матрицы a M(n, R), найти собственные числа матрицы uau>.

8.18.Пусть a M(m, n, K), b M(n, m, K), m 6 n. Доказать, что характеристические многочлены χab и χba матриц ab и ba

связаны соотношением χba(t) = tn−mχab(t).

8.19.Доказать, что матрица a M(n, C) нильпотентна тогда

итолько тогда, когда tr(ak ) = 0 для всех k = 1, 2, . . . , n.

8.20.Доказать, что если матрица a M(n, C) невырождена, то существует матрица b M(n, C) такая, что b2 = a.

8.21.Пусть a M(n, K), n > 2. Доказать, что если an = 0, an−1 6= ,0то не существует матрицы b M(n, K) такой, что b2 = a.

8.22.Пусть a2 = −e, где a M(n, K).

а) Пусть K = R. Доказать, что n четно и a подобна (над R)

б) Пусть K = C. Обязательно ли n четно?

8.23.Пусть a M(n, R) ортогональная матрица такая, что матрица a + e также ортогональна. Доказать, что n четно.

8.24.Найти все ортогональные матрицы a M(3, R) такие, что матрица a + 2e также ортогональна.

8.25.Пусть a = (aij ) M(n, R) положительно определен-

ная матрица. Доказать, что:

det(a) 6

Qn

i=1

8.26. Доказать, что ранг матрицы равен 1 тогда и только то-

гда, когда она представима в виде произведения ненулевых столбца и строки.

43

а) если сумма элементов каждой строки (столбца) матрицы a равна λ, то λ ее собственное число;

б) если, дополнительно, K = R, и элементы матрицы a поло-

жительны, то все ее собственные числа по модулю не превосходят λ.

8.29.Пусть a, b, c, d M(n, K). Доказать:

µ¶

bc).

8.30.Пусть a M(m, n, K), b M(n, m, K) таковы, что матрица ab − e обратима. Доказать, что обратима матрица ba − e.

8.31.Пусть aij M(m, K), 1 6 i, j 6 n, и матрицы aij попарно перестановочны. Пусть a = (aij ) блочная матрица, составлен-

ная из матриц aij . Доказать, что

8.32.Пусть a, b M(n, K), n нечетно и матрицы a+a> и b+b> невырождены. Доказать, что ab 6= .0

8.33.Пусть char(K) = 0, a, b M(n, K), c = ab−ba. Доказать:

а) c 6=e;

б) если c = a, то матрица a вырождена;

в) если c коммутирует с b, то для любого f K[t] выполняется равенство a · f (b) − f (b) · a = c · f 0(b);

г) если c коммутирует с a и b, то c нильпотентна.

8.34. Пусть a GL(n, K), u и v соответственно столбец и строка из n элементов поля K, b = a + uv. Доказать:

44

а) если 1 + va−1u = 0, то матрица b вырождена;

б) если 1 + va−1u 6= ,0то матрица b обратима и b−1 = a−1 −

(1 + va−1u)−1a−1uva−1 (формула Шермана Моррисона).

8.35. Доказать, что если a GL(n, K), x M(n, m, K), y M(m, n, K) и e + ya−1x обратима, то обратима и матрица b = a + xy. Как выглядит аналог формулы Шермана Моррисона в

этом случае?

8.36. Пусть x GL(n, K), y M(n, K).

а) Доказать, что если матрица x + y обратима, то (x + y)−1 = x−1 − x−1y(x + y)−1 = x−1 − x−1yx−1 + x−1yx−1y(x + y)−1.

б) Пусть K = R или K = C и в пространстве M(n, K) введена

какая-нибудь норма. Доказать, что любая матрица, достаточно близкая к обратимой матрице, сама обратима.

Указание. Итерируйте формулы п. a).

8.37. Доказать, что если все диагональные элементы матрицы c M(n, R) равны нулю, то существуют матрицы a, b такие, что c = ab − ba.

8.38.Доказать, что если σ, τ Sn, причем σ цикл длины n, то rk(e + pσ − 2pτ ) = n − 1.

8.39.Пусть a, b M(n, R) и ab = ba. Доказать, что существуют вещественные числа α, β, γ, не равные нулю одновременно, такие, что det(αa + βb + γe) = 0.

8.40.Для любой матрицы a M(n, K) положим Z(a) = {b M(n, K) | ab = ba}. Доказать, что:

а) Z(a) векторное пространство над K;

б) существует матрица a M(n, K) такая, что dim(Z(a)) = n; в) для любой матрицы a M(n, K) выполняется неравенство

b, c, d M(n, R), положительно определена, то det(a) det(d) > det(b) det(c).

8.42. Полуобратной для матрицы x M(m, n, K) называется матрица y, такая, что xyx = x. Полуобратная матрица называется обобщенной обратной, если, кроме того, yxy = y. Доказать:

45

а) если y и z две полуобратные для x, то yxz обобщенная

обратная;

б) если x имеет обратную слева (справа) матрицу y, то y

обобщенная обратная.

8.43.Пусть x = e(m, n, r), a M(r, m−r, K), b M(n−r, r, K),

µ¶

полуобратной для x. При каких a, b и c она является обобщенной

обратной?

8.44. Доказать, что для любой матрицы существует по край-

ней мере одна полуобратная.

Указание. Воспользуйтесь канонической формой матрицы линей-

ного отображения и результатом предыдущей задачи.

8.45.Доказать, что для любой матрицы существует по крайней мере одна обобщенная обратная.

8.46.Доказать, что если x− полуобратная для x, то rk(x−) > rk(x), а если x− обобщенная обратная, то rk(x−) = rk(x).

8.47.Пусть x− полуобратная для x. Доказать, что xx− и x−x идемпотентные квадратные матрицы того же ранга, что и x.

8.48.Пусть x M(m, n, K), rk(x) = m. Доказать, что любая полуобратная для x является правой обратной для x.

8.49.Доказать, что для разрешимости матричного уравнения axb = c необходимо и достаточно, чтобы были разрешимы уравнения ay = c и zb = c.

8.50.Пусть x комплексная матрица. Говорят, что полуобратная y для x обладает свойством наименьших квадратов, если (xy) = xy, и свойством наименьшей нормы, если (yx) = yx. Обобщенная обратная для x называется (обобщенной) обратной

Мура Пенроуза, если она одновременно обладает свойством наименьших квадратов и наименьшей нормы, т.е. удовлетворяет четырем следующим уравнениям Мура Пенроуза: xyx = x, yxy = y, (xy) = xy, (yx) = yx.

Пусть x− полуобратная, а x+ обратная Мура Пенроуза для x. Доказать:

а) (x−) полуобратная для x ;

46

б) (x x)−x полуобратная для x со свойством наименьших

квадратов;

в) x (xx )− полуобратная для x со свойством наименьшей

нормы.

8.51. Доказать, что для любой комплексной матрицы суще-

ствует единственая обратная Мура Пенроуза.

Указание. 1. Покажите, что если y и z полуобратные матрицы для x со свойством наименьшей нормы и наименьших квадратов соответственно, то yxz обратная Мура-Пенроуза для x.

2. Используя уравнения Мура Пенроуза, вычислите произведение uxv, где u, v пара обратных Мура Пенроуза для x.

8.52. Пусть x+ обратная Мура Пенроуза для комплексной матрицы x. Доказать:

а) (x+)+ = x;

б) (x )+ = (x+) ; в) (x>) = (x+)>; г) x+ = (x x)+x ; д) x+ = x (xx )+.

8.53.Доказать, что если y и z унитарные матрицы и существует произведение yxz, то (yxz)+ = z x+y .

8.54.Пусть x M(m, n, C). Доказать:

а) если x обратима, то x+ = x−1;

б) если x эрмитова и x2 = x, то x+ = x; в) если x = e(m, n, r), то x+ = x>;

г) если строки x линейно независимы, то x+ = x (xx )−1; д) если столбцы x линейно независимы, то x+ = (x x)−1x ;

е) если x = diag(λ1, . . . , λr , 0, . . . , 0) с ненулевыми λj , то x+ = diag(λ−1 1, . . . , λ−r 1, 0, . . . , 0).

8.55.Доказать, что матричное уравнение ax = b разрешимо тогда и только тогда, когда aa−b = b (a− полуобратная для a), и

вэтом случае все его решения описываются формулой x = a−b + (e − a−a)u, где u произвольная матрица подходящего строения.

8.56.Пусть ax = b матричная запись комплексной системы линейных уравнений с n неизвестными. Столбец y Cn называет-

ся псевдорешением этой системы, если в унитарном пространстве

47

Cn неравенство |ay−b| 6 |az−b| выполняется для всех столбцов z.

Наименьшее по длине (псевдо)решение называется нормальным. Доказать:

а) если a− полуобратная матрица для a, обладающая свойством наименьших квадратов, то a−b псевдорешение системы ax = b;

б) если ax = b совместная система и a− полуобратная матрица для a, обладающая свойством наименьшей нормы, то a−b нормальное решение этой системы;

в) если ax = b несовместная система и a+ обратная Мура Пенроуза для a, то a+b нормальное псевдорешение этой

системы.

8.57. Пусть x M(m, n, K), rk(x) = r. Доказать, что найдутся матрицы y M(m, r, K) и z M(r, n, K) такие, что x = yz

(скелетное разложение).

Указание. Используйте равенство e(m, n, r) = e(m, r, r)e(r, n, r).

8.58.Пусть x GL(n, K). Доказать, что существуют такие обратимые верхние треугольные матрицы a и b и подстановка

σSn, что x = apσ b (разложение Брюа). Доказать, что такая подстановка σ единственна. Будут ли и треугольные множители

определены однозначно?

8.59.Доказать, что любую матрицу x GL(n, K) можно представить в виде x = cpb, где c нижняя треугольная матрица, p матрица подстановки, а b верхняя треугольная матрица

(разложение Биркгофа).

8.60.Доказать, что любая матрица x GL(n, K) подобна матрице pb, где p матрица подстановки, а b верхняя треуголь-

ная матрица.

8.61.Доказать, что каждая матрица x M(m, n, R) предста-

λr > 0 для некоторого неотрицательного целого r) (сингулярное разложение). Однозначно ли определена матрица s?

8.62. Квадратная вещественная матрица, все элементы которой равны ±1, а строки попарно ортогональны, называется мат-

рицей Адамара. Матрица Адамара называется нормализованной,

48

если ее первая строка и первый столбец состоят из одних единиц. Пусть H(n) множество матриц Адамара порядка n.

а) Вычислить det(h) для h H(n).

б) Сколько единиц в нормализованной матрице Адамара?

в) Доказать, что любая матрица Адамара эквивалентна нормализованной матрице Адамара.

г) Доказать, что порядок матрицы Адамара либо равен 1, либо

также матрица Адамара.

е) Доказать, что если h1 и h2 матрицы Адамара, то их кронекеровское произведение h1 h2 тоже матрица Адамара.

8.63.Квадратная вещественная матрица с нулевой главной диагональю и с элементами ±1 в остальных позициях называет-

ся конференц-матрицей, если ее строки попарно ортогональны. Доказать, что порядок конференц-матрицы либо равен 1, либо делится на 2.

8.64.Пусть a жорданова клетка порядка n с собственным

числом 2.

а) Доказать, что существуют матрицы u, v SL(n, Z) и диагональная матрица d M(n, Z) такие, что a = udv.

б) Доказать, что одно из чисел на диагонали матрицы d равно

±2n.

8.65.Решить в M(n, C) уравнение am = e, где m N.

8.66.Найти тройку матриц a, b, c M(N, C) = {(aα,β ) | α, β N, aα,β C}, такую, что произведения a(bc) и (ab)c существуют, но a(bc) 6=ab( )c.

8.67.Матрица, в каждой строке которой почти все элементы равны 0, называется конечнострочной. Доказать, что множество всех конечнострочных квадратных матриц одинакового строения (здесь одинаковойиндексации)над ассоциативным кольцом (с 1) есть ассоциативное кольцо (с 1).

8.68.Найтиматрицыa M(1, 2, M(N, Z)) и b M(2, 1, M(N, Z))

такие, что ab = e и ba = e.

49

Доказать, что a2 = 0.

8.71. Пусть G конечная абелева группа, T = (tσ )σ G семейство независимых переменных над C и пусть a = (aσ,τ )σ,τ G

M(G, C[T ]), σ, τ G aσ,τ = tστ . Доказать, что det(a) разлож´им над C в произведение линейных форм.

50