Peterburgsky_zadachnik_Lineynaya_algebra (1)

10)V пространство векторов плоскости, a поворот вокруг начала координат на угол ϕ

решить следующие задачи:

а) доказать, что a End(V );

б) выбрав какой-нибудь базис f пространства V , найти матри-

цу [a]f ;

в) найти базисы ядра и образа оператора a;

г) найти матрицу сужения оператора a на Im(a) в каком-нибудь

базисе;

д) найти все a-инвариантные подпространства;

е) найти базисы примарных компонент пространства V ;

ж) найти матрицы сужений оператора на эти компоненты в найденных базисах;

з) найти все собственные числа и собственные векторы оператора a;

и) выяснить, диагонализуем ли оператор a.

6.48. Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти базисы примарных компонент пространства и матрицы сужений оператора a на эти примарные компоненты в

31

6.49. Пусть a End(V ), f базис V . Найти жорданов базис

32

33

6.50. Пусть ma максимальное число линейно независимых собственных векторов оператора a в конечномерном комплексном пространстве, χa характеристический многочлен оператора a. Найти жорданову матрицу оператора a, если:

1)χa = t4(t − 1)3(t − 2)2, µa = t3(t − 1)2(t − 2);

2)χa = t6(t − 1)2, µa = t2(t − 1), dim(Ker(a)) = 3;

3)χa = t6(t − 1)2, µa = t2(t − 1), dim(Im(a)) = 4;

4)χa = t6(t − 1)4, µa = t3(t − 1)3, ma = 4;

5)χa = t4(t − 1)3, ma = 4, dim(Im(a)) = 4;

6)a = j2, где жорданова матрица оператора j состоит из одной

жордановой клетки (одноклеточный оператор);

7)a = j1j2, где j1, j2 коммутирующие одноклеточные операторы и j1 нильпотентен;

8)a = j12 + j2, где j1, j2 коммутирующие одноклеточные операторы и j1 нильпотентен;

9)a = g(j), где j одноклеточный оператор, g C[t];

10)χa = t9, µa = t3, dim(Im(a2)) = 2;

11)χa = t7(t − 1)3, µa = t3(t − 1)2, dim(Im(a)) = 7, dim(Im(a2)) = 5;

12)χa = t5(t − 1)2, µa = t2(t − 1), ma2 = ma + 2;

13)χa = t2(t − 1)3, ma = 3, ma2 = 4;

14)χa = t4(t − 1)3, ma = 4, dim(Im(a)) = 5, dim(Im(a2)) = 4;

15)a2 = 0;

16)a2 = id;

17)a2 = a;

18)a2 − 3a + 2 id = 0;

19)χa = (t − 1)n, ma = k, dim(Ker (a − id)2) = k + 1, n, k N;

20)(a − id)k = ak , k N;

21)χa = tn, dim(Ker(a)) = k, dim(Im(a2)) = n − k − 1, n, k N;

22)χa = tn, dim(Ker(a) ∩ Im(a)) = 1, n N;

23)Im(a) = Ker(a).

34

6.51. Пусть a оператор в конечномерном комплексном пространстве и rk(a) = 1. Найти:

а) собственные числа оператора a; б) жорданову матрицу оператора a.

6.52. Пусть char(K) 6= ,2V = M (2, 1, K), a End(V ), x V

нием f · v = f (a)(v), v V . Верно ли, что:

1)V неразложимый K[t]-модуль?

2)V циклический K[t]-модуль?

7.Евклидовы и унитарные пространства

Вэтом разделе все операторы действуют в конечномерных пространствах.

7.1. Пусть u, v пара векторов евклидова пространства таких, что |u| = 2, |v| = 3 и угол между ними равен π/3; x, y hu, vi.

Найти:

а) угол между векторами x, y;

б) ортогональную проекцию x на y;

в) площадь треугольника, построенного на векторах x, y;

г) центр и радиус окружности, описанной около этого треугольника;

д) центр и радиус окружности, вписанной в этот треугольник,

35

7.2. Найти расстояние и угол между вектором x и подпространством U = hu, vi пространства R4, если:

1)x = (6, −1, 4, 1), u = (2, 4, 1, 1), v = (1, 1, 0, 0);

2)x = (2, 1, 0, 2), u = (2, 3, 2, 7), v = (0, 1, 0, 1);

3)x = (17, 22, −9, 8), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, −1, 1, 1);

4)x = (1, −1, −1, 1), u = (1, −2, 1, 0), v = (1, 0, 1, 2);

5)x = (1, −2, 0, 1), u = (1, 3, 1, 5), v = (2, −3, 2, 1);

6)x = (−3, 2, 11, 8), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, 2, 1, 4);

7)x = (7, 3, −2, 2), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 6, 1, 8);

8)x = (3, −1, 0, 3), u = (1, −3, 1, −1), v = (2, −3, 2, 1);

9)x = (2, 1, −2, 3), u = (1, 2, 1, 4), v = (1, 1, 1, 3);

10)x = (1, 1, 0, 0), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 3, 1, 5);

11)x = (−1, 1, 1, 3), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 1, 1, 3);

12)x = (3, −1, 2, 4), u = (1, 2, 1, 3), v = (1, 0, −1, −1);

13)x = (0, −1, 1, 1), u = (1, 0, −1, 0), v = (2, 1, 0, −1);

14)x = (0, −1, 1, 0), u = (2, −5, 2, −1), v = (1, 2, 1, 4);

15)x = (1, 1, 0, −2), u = (2, 3, 1, 4), v = (1, 3, 2, 5);

16)x = (1, 7, −2, 0), u = (0, 1, 2, −1), v = (3, 1, −1, −1);

17)x = (0, 0, 1, 1), u = (3, −4, 3, 2), v = (2, −3, 2, 1);

18)x = (5, −1, 3, 5), u = (3, 5, 2, 7), v = (2, 3, 1, 4);

19)x = (1, 6, −4, 1), u = (1, 1, 1, −1), v = (4, 1, −2, −1);

20)x = (−1, 1, 0, 2), u = (1, 1, 1, 3), v = (1, −2, 1, 0);

21)x = (1, −1, 1, 3), u = (3, 2, −1, 1), v = (4, 5, 1, 6);

22)x = (1, 7, −5, 1), u = (1, 2, 3, −2), v = (3, 2, 1, −2);

23)x = (0, −2, 1, 1), u = (1, 0, 1, 2), v = (1, 2, 1, 4);

24)x = (1, 3, −1, −1), u = (1, 3, 2, 5), v = (1, 4, 3, 7);

25)x = (1, 7, −4, 0), u = (2, 3, 4, −3), v = (1, 3, 5, −3);

26)x = (0, −1, 1, 2), u = (1, −3, 1, −1), v = (0, 1, 0, 1);

27)x = (1, 1, 0, −2), u = (1, 1, 0, 1), v = (0, 1, 1, 2);

36

28)x = (1, 8, −6, 1), u = (3, 4, 5, −4), v = (1, 1, 1, −1);

29)x = (1, 5, −3, 1), u = (2, −1, 2, 3), v = (1, 2, 1, 4);

30)x = (1, 5, −2, 0), u = (3, 4, 1, 5), v = (2, 5, 3, 8).

7.3.Найти расстояние между двумя многообразиями в R4 прямой s + hri и плоскостью w + hu, vi, если:

1)s = (1, 2, 1, 1), r = (0, 1, 0, 1), w = (1, 1, 1, 1), u = (1, 0, 1, 1), v = (0, 1, 0, 0);

2)s = (1, −1, 2, 1), r = (1, 0, 1, 0), w = (1, 0, 1, 1), u = (1, −1, 0, 1), v = (0, 0, 0, 1);

3)s = (1, 0, 1, 2), r = (0, 1, 1, 0), w = (1, 0, 1, 1), u = (1, 0, 1, 0), v = (1, 1, 0, 0);

4)s = (2, 1, 2, 1), r = (1, 0, 0, 1), w = (1, 1, 2, 1), u = (1, 1, 1, 0), v = (0, 1, 0, 1).

7.4.Найти сечение четырехмерного куба трехмерной гиперплоскостью, проходящей через середину диагонали куба перпендикулярно ей.

7.5.Найти ортогональную проекцию четырехмерного куба на трехмерную гиперплоскость, перпендикулярную диагонали куба.

7.6.Пусть V унитарное или евклидово пространство, не обя-

зательно конечномерное. Доказать:

а) M = M для любого M V ;

б) если V конечномерно и U 6 V , то U = U .

7.7. Найти какую-нибудь систему линейных уравнений, задающую ортогональное дополнение к подпространству в R4, опре-

7.8. Пусть v1, . . . , vm Rn.

а) Доказать, что если (vi, vj ) < 0 для любых i 6=j, то m 6 n+1. б) Что изменится, если вместо (vi, vj ) < 0 требовать лишь

(vi, vj ) 6 0?

37

Указание. В (1) выберите v1 за первый вектор базиса и проведите

индукцию по размерности.

7.9. Доказать, что матрица Грама линейно независимого се-

мейства векторов евклидова пространства положительно определена.

7.10. Пусть f базис евклидова пространства с матрицей

ти базис образа оператора a .

7.12. Найти канонический базис и каноническую форму мат-

рицы ортогонального оператора, имеющего в ортонормированном базисе f заданную матрицу, проверив предварительно ее орто-

гональность; найти углы поворота плоскостей, вращаемых этим