Peterburgsky_zadachnik_Lineynaya_algebra (1)

6.2.Найти матрицу оператора транспонирования в какомнибудь базисе пространства квадратных матриц второго порядка.

6.3.Пусть a, b End(R2), причем a((2, 1)) = (3, 2), a((1, 1)) = (1, −1), b((3, 2)) = (2, 1), b((2, 1)) = (−3, −2). Найти матрицу оператора a + b в каком-нибудь базисе пространства R2.

6.4.Пусть a End(R3), a(xi) = yi, i = 1, 2, 3, f базис R3. Найти матрицу [a]f , если:

1)x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (0, 1, 1),

y1 = (−3, −1, −1), y2 = (2, 1, 2), y3 = (3, 1, 3), f = ((1, 0, 1), (1, 1, 1), (2, 1, 1));

2)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 0), x3 = (0, 1, 1), y1 = (2, 0, 1), y2 = (0, 1, 0), y3 = (6, 5, 3), f = ((1, 1, 1), (2, 1, 1), (3, 2, 1));

3)x1 = (2, 1, 2), x2 = (1, 0, 2), x3 = (3, 1, 3),

y1 = (7, −4, 3), y2 = (0, 3, 5), y3 = (9, −4, 6), f = ((1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 3));

4)x1 = (1, 2, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (2, 0, 1),

y1 = (−7, −5, 5), y2 = (−4, −3, 3), y3 = (1, 1, −1), f = ((1, 1, 0), (1, 0, 1), (2, 1, 0));

5)x1 = (1, 0, 1), x2 = (2, 1, 0), x3 = (1, 1, 0),

y1 = (−4, −2, −1), y2 = (7, 2, 2), y3 = (5, 2, 2), f = ((2, 0, 1), (1, 1, 0), (2, 1, 1));

6)x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 2), x3 = (1, 1, 2), y1 = (2, 3, 4), y2 = (2, 5, 8), y3 = (2, 3, 5), f = ((1, 1, 2), (0, 1, 1), (1, 2, 2));

7)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (2, 1, 1),

y1 = (2, 0, −1), y2 = (−1, 2, 1), y3 = (−3, 3, 0), f = ((2, 1, 2), (1, 1, 2), (1, 0, 1));

8)x1 = (0, 1, 1), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 2),

y1 = (3, 3, −2), y2 = (2, 1, 0), y3 = (6, 5, −3), f = ((2, 1, 1), (1, 0, 1), (3, 1, 1));

9)x1 = (1, 1, 2), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 1),

y1 = (−2, −2, 5), y2 = (−3, −4, 6), y3 = (1, 2, −1), f = ((1, 2, 2), (2, 3, 1), (1, 1, 0));

21

10)x1 = (1, 1, 0), x2 = (1, 1, 1), x3 = (1, 2, 1),

y1 = (1, −5, −2), y2 = (0, 2, 1), y3 = (1, 1, 1), f = ((1, 2, 1), (2, 1, 1), (2, 3, 2));

11)x1 = (1, 1, 2), x2 = (1, 0, 1), x3 = (0, 1, 1), y1 = (2, 7, 6), y2 = (1, 7, 5), y3 = (1, 0, 1), f = ((1, 1, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 1));

12)x1 = (1, 0, 1), x2 = (1, 1, 1), x3 = (1, 1, 2), y1 = (0, 0, 1), y2 = (1, 1, 1), y3 = (−2, 0, 0), f = ((2, 1, 2), (1, 0, 1), (2, 1, 1)).

6.5.Пусть a End(R3), a(xi) = yi, i = 1, 2, 3. Выбрать какойнибудь базис f пространства R3 и найти матрицу [a]f , если:

6.6. Найти матрицу оператора поворота векторов плоскости вокруг начала координат на угол ϕ в базисе (5i + 3j, 8i + 5j), где i, j орты декартовой системы координат.

22

6.7.Найти матрицу оператора ортогонального проектирования геометрического трехмерного пространства на плоскость x + 2y + 2z = 0 в базисе (i + j − 2k, 2i + j − k, 3i + 2j − 2k), где i, j, k

орты декартовой системы координат.

6.8.Доказать, что если образы двух ненулевых операторов из End(V ) различны, то эти операторы линейно независимы.

6.9.Пусть char(K) 6= ,2a End(V ), причем a2 = idV . Доказать, что V = Im(a + idV ) Im(a − idV ).

6.10.Пусть dim(V ) = n, a End(V ). Доказать, что V = Im(an) Ker(an).

6.11.Пусть a, b End(V ), a2 = a, b2 = b, ab = ba. Доказать, что V = (Im(a) ∩ Im(b)) (Im(a) ∩ Ker(b)) (Ker(a) ∩ Im(b)) (Ker(a) ∩ Ker(b)) .

6.12.Доказать, что если a, b End(V ), то rk(a) + rk(b) − dim(V ) 6 rk(ab) 6 min(rk(a), rk(b)).

6.13.Доказать, что оператор обратим тогда и только тогда, когда 0 не является его собственным числом.

6.14.Пусть dim(V ) = n, a End(V ), и для некоторого вектора v V семейство векторов a(v), a2(v), . . . , an(v) линейно независимо. Доказать, что a обратим.

6.15.Пусть dim(V ) = n, a, b End(V ) и a обратим. Доказать, что оператор cλ = λa − b обратим для всех λ K, за исключением не более чем n значений.

6.16.Пусть dim(V ) = n, V1, V2 6 V , dim(V1) = 1, V1 ∩V2 = {0}, a End(V ) обратимый оператор. Доказать, что am(V1) ∩ V2 =

{0} для некоторого натурального m 6 n.

6.17. Пусть V1 6 V2 6 . . . 6 Vm 6 V и W1 6 W2 6 . . . 6 Wm 6

V . Когда существует обратимый оператор a End(V ) такой, что

i a(Vi) = Wi?

6.18. Пусть V = KN .

а) Привести пример оператора a End(V ), обратимого слева,

но не справа.

б) Привести пример инъективного (сюръективного) необратимого оператора в пространстве V .

23

6.19. Пусть V бесконечномерно. Доказать, что:

а) V V V ;

=

б) кольца End(V ) и M(2, End(V )) изоморфны.

6.20. Пусть a, b End(V ), Ker(b) Ker(a). Доказать, что a = cb для некоторого c End(V ).

6.21. Пусть char(K) = 0, a, b End(V ), c = ab − ba. Доказать, что оператор id −c не нильпотентен.

6.22. Пусть a M(n, K) нильпотентная матрица, c(x) = ax −xa для каждого x M(n, K). Доказать, что оператор c ниль-

потентен.

6.23. Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти все подпространства, инвариантные относительно оператора a, если матрица [a]f равна:

6.24.Пусть a End(V ), где V комплексное n-мерное пространство. Доказать, что существует a-инвариантное (n − 1)-мер-

ное подпространство.

6.25.Существует ли оператор a End(R4), для которого име-

ется бесконечно много двумерных инвариантных подпространств, но нет трехмерных?

24

6.26.Пусть a обратимый оператор в пространстве V . Доказать, что a и a−1 имеют одни и те же инвариантные подпро-

странства. Привести пример пары коммутирующих операторов с разными множествами инвариантных подпространств.

6.27.Выяснить, инвариантно ли подпространство U пространства V относительно оператора a, и в случае положительного ответа найти матрицу сужения оператора a на U в каком-нибудь

базисе, если:

1)V = R[t], U = {f | f 000 = 0}, a(f ) = f 0;

2)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f 00 = 0}, a(f ) = f (1 − t);

3)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f (1) = 0}, a(f ) = f (1 − t);

4)V = {f R[t] | f 000 = 0}, U = {f | f (0) = f (1)},

ющего в стандартном базисе матрицу [a], и в случае положительного ответа найти матрицу сужения оператора a на U в каком-

25

6.29. Пусть a End(V ), f базис V . Найти базисы ядра и образа оператора a и матрицу его сужения на его образ в найденном

26

6.30. Пусть a : K[t] → K[t], f K[t] a(f ) = f (t + 1) − f (t).

а) Доказать, что a End(K[t]).

б) Доказать, что пространства K[t]n a-инвариантны для всех n N.

в) Найти ядро и образ сужения оператора a на K[t]n.

г) Доказать, что при char(K) = 0 для каждого g K[t] уравнение f (t + 1) − f (t) = g(t) относительно f K[t] имеет

единственное решение с нулевым свободным членом.

6.31.Пусть g K[t], a : K[t] → K[t], f K[t] a(f ) = f 0g −f g0

для всех f K[t].

1)Доказать, что a End(K[t]).

2)Найти Ker(a).

3)Найти dim (a(K[t]n)).

6.32.Пусть a End(V ). Найти базис циклического подпространства, порожденного вектором v, и матрицу сужения a на это

3)V = R[t], a(f ) = f 0, v = t2 + t + 1;

4)V = R[t], a(f ) = f (1 − t), v = t2 + t + 1.

6.33.Пусть a End(V ), f базис V . Найти базис циклического подпространства, порожденного вектором v, и матрицу сужения оператора a на это подпространство в найденном бази-

се, если:

27

22 6 1

6.34.Пусть a End(V ). Доказать, что следующие условия

равносильны:

1)a гомотетия, т.е. a = λ · id, λ K;

2)все ненулевые векторы пространства V суть собственные векторы оператора a;

3)все подпространства a-инвариантны;

4)[a]f = [a]g для любых базисов f, g пространства V .

6.35.Доказать, что для любого множества попарно коммутирующих операторов в конечномерном комплексном пространстве существует общий собственный вектор.

6.36.Пусть поле K бесконечно, V конечномерно, оператор a

диагонализуем. Доказать, что следующие условия равносильны:

1)оператор a не имеет кратных собственных чисел;

2)в пространстве V имеется лишь конечное число a-инвари-

антных подпространств.

28

6.37. Пусть u, v M(n, C), a End(M (n, C)), a(x) = ux − xv

для каждого x M(n, C), α и β собственные числа матриц u и v соответственно. Доказать, что α − β собственное число оператора a.

6.38. Пусть u M(n, C), a End(M (n, C)), a(x) = ux−xu для каждого x M(n, C). Доказать, что каждое собственное число оператора a есть разность некоторых собственных чисел матрицы u.

6.39. Пусть V конечномерное комплексное пространство и a End(V ). Доказать, что оператор a нильпотентен тогда и толь-

ко тогда, когда он не имеет собственных чисел, отличных от 0.

6.40.Доказать, что пересечение ядра и образа диагонализуемого оператора нулевое подпространство.

6.41.Привести пример оператора, сумма ядра и образа которого не есть прямая сумма.

6.42.Пусть V вещественное пространство, a End(V ), f базис V . Найти все собственные числа и собственные векторы оператора a и выяснить, диагонализуем ли этот оператор, если матрица [a]f равна:

29

6.43. Пусть V пространство квадратичных форм от переменных t1, t2 над полем K, u M(2, K), отображение a : V → V задано равенством (a(f ))(t) = f (tu), где t = (t1, t2).

а) Доказать, что a End(V ).

б) Для каких матриц u оператор a диагонализуем? в) Найти Im(a) и Ker(a).

6.44.Доказать, что оператор a диагонализуем тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен µa разлож´им над K на

линейные множители и не имеет кратных корней.

6.45.Доказать, что сужение диагонализуемого оператора в конечномерном пространстве на любое его инвариантное подпространство также диагонализуемо.

6.46.Пусть минимальный многочлен оператора a разлож´им

над K на линейные множители и имеет только простые корни

6.47.Для каждого из следующих случаев:

1)V = R3, a((α, β, γ)) = (α, α + β + γ, 0);

2)V = R[t], a(f ) = f 0;

3)V = {f R[t] | f 000 = 0}, a(f ) = f (t + 1);

4)V = M(2, R), a(x) = x>;

5)V = M(2, R), a(x) = x + x>;

µ¶

1 2

6)V = M(2, R), a(x) = x 2 4 ;

7)K = F5, V = F5[ξ] при ξ2 + ξ + 1 = 0, a(x) = x5;

8)K = R, V = R[ξ] при ξ2 + ξ + 1 = 0, a(x) = ξx;

9)V геометрическое трехмерное пространство, a ортого-

нальное проектирование на фиксированную плоскость;

30