5. Евклидовы и унитарные пространства. Теорема об ортогонализации. Ортонормированный базис.

Если длина вектора равна единице, он называется нормированным вектором:(x,x) = 1, |x| = 1.

Если все векторы системы векторов нормированы, то система векторов называется нормированной системой.

Если векторы системы векторов e₁, e₂, ..., e_nпопарно ортогональны и нормированы, то система векторов называется ортонормированной системой: (e_i, e_j) = 0, если i ≠ j ,(e_i, e_i) = 1.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированная система и x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этой системе, то x_i =(x, e_i).

Ортонормированная система, состоящая из n векторов n-мерного евклидова пространства, образует базис этого пространства. Такой базис называется ортонормированным базисом.

Если e₁, e₂, ..., e_n — ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства и

x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n — разложение вектора x по этому базису, то координаты x_i вектора x в ортонормированном базисе вычисляются по формулам x_i =(x, e_i), i = 1, 2, ..., n.

Теорема 1.1 (об ортогонализации) В евклидовом пространстве любой базис может быть преобразован к ортонормированному базису.

Доказательство. Пусть дан произвольный базис в мерном евклидовом пространстве:

Построим следующие системы, и векторов:

Докажем, что система ортогональна (тогда ясно, что система ортонормированная). Доказательство проведем индукцией по . Базис индукции очевиден, так как система, состоящая из одного ненулевого вектора, ортогональна по определению. Пусть для некоторого подсистема ортогональна. Вычислим скалярное произведение для произвольного .

Имеем:

(мы учли, что для любого скалярное произведение ).

Итак, система ортогональна, и теорема доказана.

Базис конечномерного евклидова пространства называется ортонормированным базисом, если образующие его векторы попарно ортогональны и имеют единичную длину. Поскольку доказано, что в любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, будем рассматривать в -мерном евклидовом пространстве только ортонормированные базисы.

Простейший пример евклидова пространства дает нам пространство -- пространство столбцов, в котором скалярное произведение введено формулой .

Тогда для любых , из справедливы формулы:

Все евклидовы пространства размерности устроены так же, как пространство .

Величины , и характеризуют взаимное расположение векторов и не зависят от выбранного ортонормированного базиса. Если и -- два ортонормированных базиса в -мерном евклидовом пространстве, то матрица перехода от одного из этих базисов к другому -- ортогональная матрица.