matematika_С1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский университет дружбы народов

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

(2cosx 1)(

sin x 1) 0.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.04.2015

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

http://vk.com/ege100ballov

tgx 0						sin x 0
						sin x 0
sin x 0
						sin x 0,5
sin x 0,5
Получаем
		2
x				2 n
x	3			2 n
	3					n,k Z
						n,k Z

x			k
x	6		k
	6
с ограничениями
sin x 0
						m Z.
						m Z.
x ( 1)n					m
x ( 1)n				6	m
				6
Так как тригонометрические							функции
(sin x , cosx,	tgx),				входящие		в данное

уравнение, имеют общий наименьший положительный период 2 , то изобразим множество решений на числовой окружности, выделив промежуток [ ; ).

Ответ: 2 2 n, n Z. 3

Пример 30. Решите уравнение:

	2		2
2sin		x 2cos		x		1
2sin		x 2cos		x	4	1
					4		0.

6x x2

Решение. Данное уравнение равносильно смешанной системе

		2			2
2sin			x 2cos			x		1 0,
2sin			x 2cos			x	4	1 0,
							4
	х х		2	0.
6	х х			0.

Решим вначале уравнение этой системы.

	2			2
2sin		x 2cos			x			1 0
2sin		x 2cos			x			1 0
							4
		2
2sin			x 1 cos			2x			1 0
2sin			x 1 cos			2x			1 0
								2

2sin2 x sin 2x 0

2sin2 x 2sin xcosx 0

sin x (sin x cosx) 0

sin x 0,				sin x 0,

sin x cosx 0;				tgx 1;
	x n,			n Z,

	x		k,	k Z.

		4
		4

Перейдем к решению неравенства:

6х х2 0 x (6 x) 0 0 x 6.

Среди решений уравнения отберем те, которые принадлежат интервалу (0;6).

Рассмотрим первую серию решений.

0 n 6, n Z 0 n 6 , n Z

n 1. Следовательно, интервалу (0;6)

принадлежит x .

Рассмотрим вторую серию решений.

0 k 6, k Z

1 k 6 1 , k Z .

					4								4
Поскольку
1,25	6		1			6			1			6		1	1,75, то ус-

4		4					4			3			4
ловиям				1	k			6			1		, k Z удовлетво-

		4								4

ряют два значения: k 0 и k 1. Значит, интервалу (0;6) принадлежат два реше-

ния из второй серии: х1 и х2 5 . 4 4

Ответ: , , 5 . 4 4

http://vk.com/ege100ballov

12. Упражнения

1. Решите уравнение:

2sin2 x 19sin x 10 0.

2	2
Ответ: ( 1)n		2 n, n Z.

2. Решите уравнение:	3

2cos2 x 5sin x 1 0.
Ответ:	( 1)n 1		n, n Z.

3. Найти сумму	6
	корней уравнения
(tgx 1)(sin x 1) 0,	принадлежащие

промежутку [ 50 ; 350 ].

Ответ: 405 .

4.Найти сумму корней уравнения

(ctgx

3)sin 2x 0,

принадлежащие

промежутку [ 100 ; 300 ].

Ответ: 390 .

5. Найдите те решения уравнения

sinx	2	, для которых cosx 0.

Ответ: 2 n, n Z. 4

6. Найдите те решения уравнения

cosx 1 , для которых sinx 0.

Ответ: 2 2 n, n Z.

	3
7.		Найдите все корни	уравнения
(		sin x 1)(2sin x 3) 0,	удовлетво-
	2

ряющие неравенству tgx 0.

Ответ: 2 n, n Z.


8.							4
			Найдите			все	корни			уравнения
(			cosx 1)(2cosx 1) 0,							удовлетво-
		2
ряющие неравенству sinx 0.
	Ответ:					2 n;		2	2 k; k,n Z.

9.				4			3
			Найдите			все	корни			уравнения
(2cosx					3)(3cosx 4) 0,					удовлетво-

ряющие неравенству tgx 0.

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

10.

Найдите

все

корни

уравнения

(tgx

3)(2cosx 1) 0,

удовлетворяю-

щие неравенству sinx 0.

Ответ:

2 n;

2 k; k,n Z.

11.

Найдите

все

корни

уравнения

(tgx 1)(

sin x 1)

удовлетворяю-

щие неравенству cosx 0.

Ответ:

2 k; k Z.

12.

Найдите

все

корни

уравнения

3tg2 x 1, удовлетворяющие неравенству sinx 0.

Ответ: 2 n; 7 2 k; k,n Z. 6 6

13. Найдите все корни уравнения

2sin2 x sin x, удовлетворяющие неравенству cosx 0.

Ответ: 2 n; 3 2 k; k,n Z. 4

14.Найдите все корни уравнения

2cos2 x
			3cosx 0,		удовлетворяющие
неравенству sin x 0.
Ответ:				2 n;	5	2 k; k,n Z.
					6
			2
15. Найдите				все корни уравнения
tg2 x	3	tgx,		удовлетворяющие нера-
венству cosx 0.					4
Ответ:				2 n;		2 k; k,n Z.

					3

16. Найдите наименьший по модулю корень уравнения 7cos3x 3cosx 0.

Ответ: arccos 6. 7

17. Найдите наименьший по модулю корень уравнения 5sin3x 2sin x 0.

Ответ: 0.

18. Решите уравнение: ctgx cosx 0.

Ответ: n, n Z. 2

19. Решите уравнение: tgx sin x 0.

Ответ: n, n Z.

20. Решите уравнение: 3tgx 2ctgx 5.

Ответ: n, arctg2 k, n,k Z. 4 3

http://vk.com/ege100ballov

21. Решите уравнение: 4tgx 3ctgx 1.

Ответ: n, arctg 3 k, n,k Z.

22.Решите уравнение: ctg3x ctgx.

Ответ: n, n Z. 2

23. Решите уравнение:

	x			x

ctg		3	cos		1	0.
	2			4

Ответ: 2 n, n Z. 3

24. Решите уравнение:

ctg2x cos5x sin x 0.

Ответ: k; n, k,n Z.

68 4

25.Решите уравнение:

tg2x tg4x tg5x tgx.

Ответ:

,n Z.

26.

Решите уравнение:

sin3x

sin x

Ответ:

n,n Z.

2sin x

27.

Решите уравнение:

2cosx 1

Ответ:

2 n,n Z.

28.

Решите уравнение:

sin 2x

cosx.

tgx

Ответ: 2 n,n Z. 3

29.Решите уравнение:

1cosx sin x 0. cosx

Ответ: 2 n, n Z.

30. Решите уравнение:

sin x cosx 0 4x

Ответ: n,n Z, n 0. 4

31. Решите уравнение: sin x cosx 1. cosx cos3x

Ответ: n, n Z. 8 2

32.

4tg2 x 3tgx

Решите уравнение:

5sin2 x 3sin x

Ответ: arctg

2 n,

n Z.

33.

Решите уравнение:

3ctg2 x 4ctgx

5cos2 x 4cosx

Ответ: arcctg

2 n,

n Z.

34.

Решите уравнение:

cos4x

sin 4x

sin 2x

cos2x

Ответ:

n Z.

35.

Решите уравнение:

4cosx ctgx 4ctgx sin x 0.

Ответ: arccos

2 n,

n Z.

36.Решите уравнение:

3sin 2x tgx 4cos2 x 7sin x 1.

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

37. Решите уравнение:

cos2x 1 sin x 0. ctgx 1

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

38. Решите уравнение:

cos2x cosx 1 0. 2sinx 3

Ответ: k;2 2 n; k,n Z.

39.Решите уравнение:

cos2x sin x 1 0. 2cosx 3

Ответ: k; 5 2 n; k,n Z. 6

40. Решите уравнение:

2 2cos2 x 3sin x 0. tgx 3

Ответ: k;2 2 k; k Z. 3

41. Решите уравнение:

2 2sin2 x 3cosx 0. ctgx 3

http://vk.com/ege100ballov

Ответ: k; 2 n;k,n Z.

42.Решите уравнение:

ctg

3tgx

2cosx 1

Ответ: k;

2 k;k Z.

43. Решите уравнение:

sin4x sin2x cos3x

2sinx 1

2sin2x

Ответ:

2 k; 2 k;

2 k;

k Z.

44. Найдите все значения

х, при каждом

из

которых

выражения

sin 4x

tg2x

cos4 x sin4 x

принимают равные значе-

ния.

tg2x

Ответ: ( 1)k

;k Z.

45. Решите уравнение:

cosx.

cos2x sin3x

Ответ:

2 k;

2 n;k,n Z.

46. Решите уравнение:

sin

sin x sin

sin 2x

cosx 0.

Ответ:

2 m,

2 (2n 1),

k,m,n Z.

47. Решите уравнение:

cos

cosx cos

cos2x

sin x 0.

Ответ:

4 k, m,

2 (2n 1),

k,m,n Z.

48. Решите уравнение:

cos2x

cos

sin x

Ответ: 2 k; 2 n;k,n Z. 3

49. Решите уравнение:

cos2x 2 3sin x

1 cosx

Ответ: 2 k; 2 n;k,n Z.

50.Решите уравнение:

	2			3
2sin		x sin			x		1
2sin		x sin		2	x		1
				2					0

			sin x
			sin x
		Ответ:				2		2 n;n Z.
		Ответ:				3		2 n;n Z.
						3

51. Решите уравнение:

6sin2 x 5sin x 1 0.

cosx

Ответ: 5 2 n; arcsin 1 2 n;. 6 3

n Z .

52. Решите уравнение:

6cos3x cos2 x cosx

ctgx

Ответ: 2 2 n; arccos1 2 n; 3 3

n Z.

53. Решите уравнение:

2sin3x 3sin2 x sin x

tgx

Ответ: 5 2 n;n Z. 6

54. Решите уравнение:

2cos3 x 3cos2 x cosx

ctgx

Ответ: 2 2 n;n Z. 3

55. Решите уравнение: tg3x tgx 0.

		3	sin x
Ответ:	2 k,		2 n,	k,n Z.

56.Решите уравнение: ctg3x ctgx 0.

cosx

Ответ:	2 k,	k Z.

4

http://vk.com/ege100ballov

57. Решите уравнение:

9sin x 3

2cosx

Ответ:

2 k,

k Z.

9cos x 3

58. Решите уравнение:

23tgx

Ответ:

2 k,

k Z.

59. Решите уравнение:

sin

25 x2

x2 25.

Ответ: 0.

60. Решите уравнение:

(sin2x) 4 x2 0.

Ответ: 2; 2; ; ; 0. 2 2

61. Решите уравнение

(cos3x 1) 6 5x x2 0.

Ответ: 1; 6; 0; 2 ; 4 . 3 3

62. Решите уравнение:

sin0,8x 4 x2 2 x2 3.

Ответ: 5 . 8

63. Решите уравнение:

5cosx cos2x 2sin x.

Ответ: 2 n, n Z. 3

64. Решите уравнение:

(2sin x 1)( cosx 1) 0.

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

65. Решите уравнение:

66. Решите уравнение:

(2cos2 x 9cosx 4) 2tgx 0.

Ответ: k,	2 n,	k,n Z.

3
67. Решите уравнение:

(2sin2 x 9sin x 5)11tgx 0.


Ответ: k,		5		2 n,		k,n Z.

6
68. Решите уравнение:
					cosx.
	3 4cos2x		2

Ответ: arccos	6	2 n, n Z.
	6

69. Решите уравнение:

5 2sin x 6sin x 1.

Ответ: ( 1)n n, n Z. 6

70. Решите уравнение:

sin x cosx 1 2sin2 x .

Ответ: 2 k; n; k,n Z. 4

71. Решите уравнение: sin x cosx 0.

Ответ: k; 2 n; k,n Z.

72. Решите уравнение:

sin x

cos2x

Ответ: ( 1)n 1

n; n Z.

73. Решите уравнение:

sin 2x 2sin

2 x

cosx

Ответ: 2 k,

2 n,

k,n Z.

74. Решите уравнение:

sin 2x 2cos

2 x

sin x

Ответ:

2 k,

2 n,

k,n Z.

75.Решите уравнение:

10cos2 x cosx 3 0 (5sin x 4) tgx

Ответ: 2 2 k, arccos3 2 n, 3 5

k,n Z.

76. Решите уравнение:

2sin2 x 5sin x 3 0.

Ответ: 2 k, 5 2 k, 6 6

k 1,2,3,...

http://vk.com/ege100ballov

77. Решите уравнение:

2cos

2 x 5cosx 3

Ответ:

2 k,

k 1,2,3,...

78. Решите уравнение:

4sin2 x 8cosx 7

ctgx

Ответ:

2 k,

k Z.

79. Решите уравнение:

4cos

2 x 8sin x 7

tgx

Ответ:

2 k,

k Z.

80. Решите уравнение:

4cos

2 x 8sin x 7

tgx

Ответ:

2 k,

k Z.

81. Решите уравнение:

3cos2x

7cos

x 3

sin x

Ответ:

2 n, n Z.

82. Решите уравнение:

4cos

x 3

tgx

Ответ: arccos

2 n, n Z .

83. Решите уравнение:

6sin x

cosx

Ответ: arcsin

2 n, n Z.

84. Решите уравнение:

(2y 7 )(4y 7 )(8y 7 ) 0. cosy

Ответ: 7 . 4

85. Решите уравнение:

(2y 9 )(4y 9 )(13y 9 ) 0. cosy

									Ответ:	9	.
									Ответ:		.
86. Решите уравнение:									4
86. Решите уравнение:
	4cos		2 x				x	sin	x
	4cos			2		sin	x	sin	2
						2
						2
			sin x		2			.
			sin x		2			.
		2

Ответ: 2 k; 2arctg2 2 n;k,n Z. 2

87. Решите уравнение:

2						3	3
cos	x						3
3		4									.
3											.

				3
				3						4
					cos		x
		Ответ:							2 n, n Z.
		Ответ:							2 n, n Z.
							4
88. Решите уравнение: logcos x sin x 1.
			Ответ:					2 k,				k Z.
			Ответ:					2 k,				k Z.
							4

89. Решите уравнение: logsin x 3cosx 1

Ответ: 2 k, k Z. 3

90. Решите уравнение

log3 sin x log3 cosx log3(1 cos60 ) .

Ответ: 2 n, n Z. 4

91. Решите уравнение

log 3 (2sin2 x 1) log 3 sin x.

Ответ: 2 n, n Z. 2

92. Решите уравнение:

log 5 cosx log 5 (1 2cos2 x).

Ответ: 2 n, n Z. 3

93. Решите уравнение:

(2cos2 x 7cosx 3)log41( sin x) 0.

Ответ: 2 n; 2 n; n Z.

94.Решите уравнение:

(2sin2 x 7sin x 3)log14 ( cosx) 0.

Ответ: 5 2 n; 2 n; n Z. 6

http://vk.com/ege100ballov

95. Решите уравнение:

cosx(2cosx 1)(2cosx 3) 0. log6 (3tgx)

Ответ: 2 n, n Z. 3

96. Решите уравнение:

sin x(2sin x 1)(2sin x 1) 0. lg(tgx)

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

97. Решите уравнение:

(tgx 3)log13 (2sin2 x) 0. log31(2cosx)

Ответ: 2 n, n Z. 3

98. Решите уравнение:

(2cosx 1)log13 (3tg2 x) 0. log31 (2sinx)

Ответ: 2 2 n, n Z. 3

99. Решите уравнение: log2 (2sin x) 0.

3cosx

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

100. Решите уравнение:

log5 ( 2cosx) 0. 5tgx

Ответ: 2 2 n, n Z. 3

101. Решите уравнение: log7 ( 3tgx) 0.

7sin x

Ответ: 7 2 n, n Z. 6

102. Решите уравнение

1 3sin x sin2 x cosx.

Ответ: 2 n, n Z.

103. Решите уравнение:

1 4cosx cos2 x sin x .

Ответ: 2 n, n Z. 2

104. Решите уравнение:

x2 (2 5 )x 6 2 4sin(x 13 ) 0

						Ответ: 2 .
105. Решите уравнение:

	x2 (3 )x 6 2 9

			13
		cos x			0
		cos x	2		0
			2
						Ответ: 3 .
106. Решите уравнение:

			log	3		x2	1	x	49
sin x cos x 2				3	2 16 .

Ответ: 1. 4

107. Решите уравнение: |sin 2x| cosx.

Ответ: n; 2 k, n,k Z.

108.Решите уравнение: ctgx|sin x| 0,5.

Ответ: 2 2 k; 2 n; n Z.

109.Решите уравнение:

|cosx| cosx 2sin x.

Ответ: 2 k; 5 2 n; k,n Z. 4

110. Решите уравнение:

4|sin x| 2cos2x 3.

			Ответ:								n; n Z.
			Ответ:								n; n Z.
111. Решите уравнение:								6
111. Решите уравнение:
														.
	sin x		2			cosx							2
	sin x	2				cosx						2
		2										2
			Ответ:							2 n; n Z.
112. Найдите			Ответ:					4		2 n; n Z.
								4
		все				решения уравнения
sin 2x cosx\|cosx\|						из промежутка [0;2 ].
Ответ:				;	3		;arctg		1			; arctg			1	.
Ответ:		2		;			;arctg					; arctg				.
		2				2		2				2

113. Решите уравнение:

sin 2x 2sin x 2. |cosx|

Ответ: 5 2 n, n Z. 6

http://vk.com/ege100ballov

114. Решите уравнение:

(3cos0,5x 4)2

cos2 0,5x 6cos0,5x 9 1.

Ответ: 2 n, n Z.

115. Решите уравнение:

(3sin x 4)2

sin2 x 6sin x 9 7 23.

Ответ: ( 1)n 1 n; n Z. 3

116. Решите уравнение:

(2sin 0,2x 3)2

sin2 0,2x 2sin0,2x 1 2.

Ответ: 5 n; n Z.

116. Решите уравнение:

2|cosx| 3cosx 4|sin x| 5sin x 0.

Ответ: arctg	5	2 n,		2 k,
			4
9
			n,k Z.

117. Решите уравнение:

4|cosx| 6cosx 5|sin x| 3sin x 0.

Ответ: arctg5 2 n, arctg5 2 k, 4

n, k Z.

118. Решите уравнение:

Ответ: 0.

119. Решите уравнение:

Ответ: 0.

120. Решите уравнение:

2cos( x ) x2 6x 11.

Ответ: 3.

121. Решите уравнение:

	x
sin		2	x2 4x 7.
3

Ответ: –2.

122. Решите уравнение:

cosx 1 x2 4 x 4 2 .

Ответ: 2 .

123.Решите уравнение:

x2 x 2 sin x 1.

Ответ: . 2

124.Решите уравнение:

x2 6x 10 sin 3 x.

Ответ: 3.

125.Решите уравнение:

x2 4x 5 cos4 x.

					Ответ: –2.
126. Решите уравнение:

		2	3		2
2cosx	x			x		2.
			2		2

Ответ: .

127. Решите уравнение:

3sin x x2 x 2 3.

2 2

Ответ: . 2

128. Решите уравнение: arcsin(2x3 2x2 3x 0,2)

arcsin(3x2 2x 0,2) .

Ответ: 0; 1.

129. Решите уравнение arccos(2x3 5x2 x 0,2)

arccos(2x 4x2 0,2) .

Ответ: 0.

130. Решите уравнение:

arctg(4x2 8x 9) arctg16x2 0.

Ответ: –0,5; 0,9.

131. Решите уравнение:

(x2 5x 6)arcsin x 0. 2

Ответ: 0; 2.

132. Решите уравнение:

(x 2)(2x2 7x 3)arccos x 0. 2

Ответ: –2; 0,5; 2.

http://vk.com/ege100ballov

133. Решите уравнение:

14sin2 x cos4x 10 0.

Ответ: k, k Z. 3

134. Решите уравнение:

sin x sin5x cos4x.

Ответ: k, k Z. 10 5

135. Решите уравнение:

cosx cos5x cos6x .

Ответ: k, k Z. 5

136. Укажите все корни уравнение

sin 2x 2sin x 0,

3 3

принадлежащие отрезку ; .

2 2

Ответ: 1,25 ; ; 0,75 ;0;0,75 ; ;1,25 .

137. Укажите наибольший корень уравнения cos2x 3sin x 2, принадлежащий

отрезку		[ 3 ; ].
				Ответ:		7	.
				Ответ:			.
138.				6
138.	Укажите наименьший корень урав-
нения		cos2x 2 3cosx,			принадлежа-
щий отрезку [ 2,5 ; 0,5 ].
				Ответ:		7	.
				Ответ:			.
139.	Решите уравнение:			3
139.	Решите уравнение:
			cos3x cos2x 1.
			Ответ:	2 k, k Z.
140.	Решите уравнение
			sin3x cos2x 1.
			Ответ:		2 k, k Z.
141.			Ответ:	2	2 k, k Z.
	Решите уравнение:			2
	Решите уравнение:

			(x 1)2 16 4 sin2 x.
142.	Решите уравнение:				Ответ: –1.
142.	Решите уравнение:

3sin x tgx 3tgx 2cosx 0.

Ответ: ( 1)k 1 arcsin0,4 k, k Z.

143. Решите уравнение:

log3 (cosx) log3 ( sin x).

Ответ: 2 k, k Z. 4

144. Решите уравнение:

			3	.
cos 2 x2			3
cos 2 x2
		2
	Ответ:					2
					2		.
					2		.
145. Решите уравнение:					36
145. Решите уравнение:

sin 3 x2 3 . 2

Ответ: 27 2 . 3

146. Решите уравнение:

	2
	2			2
cosx			4x		7x 3		0.
cosx			4x		7x 3		0.
	2
	2
	Ответ:	3	;1;			2 k;		2 n;
	Ответ:		;1;			2 k;		2 n;
		4			4		4

n,k Z,n 0.

147. Решите уравнение:

	3
	3				2
sin x		3x				7x 4		0.
sin x		3x				7x 4		0.
	2
	2
Ответ:1;			4	;		2	2 k;		2 n;
Ответ:1;				;		3	2 k;		2 n;
		3				3		3

n,k Z,n 0.

148. Решите уравнение:

sin3x

1 2sin 4xcosx .

Ответ:

2 k;

2 n;

2 m;

149. Решите уравнение:

n,k,m Z.

1 2sin3xsin7x

cos10x

Ответ: k;

k Z.

150. Решите уравнение:

cos2t 3sin 2t cost.

Ответ: 2 n; arctg6 2 k, n,k Z.

http://vk.com/ege100ballov

151. Решите уравнение:

	5sin 2t cos2t			sint .
Ответ:		2 n; arctg0,1 2 k,				n,k Z.
Ответ:	2	2 n; arctg0,1 2 k,				n,k Z.
	2
152. Решите уравнение:
log2 (x2	4x 8) sin		5 x		cos		5 x	.
log2 (x2	4x 8) sin				cos			.
				4		4