Ekzamen_MEKhANIKA

1.Первый и второй законы Ньютона

2.Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса.

3.Закон сохранения энергии в механике.

4.Закон сохранения момента количества движения.

5.Основной закон вращательного движения твердого тела.

6.Вынужденная прецессия гироскопа.

7.Упругие деформации твердого тела.

8.Гармонические колебания материальной точки. Уравнение осциллятора.

9.Физический маятник. Приведенная длина физического маятника.

10.Затухающие колебания.

11.Вынужденные колебания и явление резонанса.

12.Волны в упругих средах. Уравнение плоской волны.

13.Стоячие волны.

14.Звуковые волны в газе. Эффект Доплера в акустике.

15.Принципы относительности Галилея и Эйнштейна.

16.Основные положения специальной теории относительности.

17.Преобразования Лоренца. Законы релятивистской механики.

18.Неинерциальные системы отсчета. Центробежная сила и сила Кориолиса.

19.Закон всемирного тяготения. Законы Кеплера.

20.Финитное и инфинитное движения. Космические скорости.

21.Законы гидростатики. Основное уравнение гидростатики.

22.Стационарное течение жидкостей. Теорема о неразрывности струи.

23.Уравнение Бернулли.

24.Понятие вязкости. Течение вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

25.Ламинарное и турбулентное течения. Число Рейнольдса.

26.Пограничный слой и явление отрыва

27.Движение тел в жидкостях и газах. Лобовое сопротивление и подъемная сила.

1) Первый закон Ньютона

Основная статья: Инерция

Первый закон Ньютона постулирует наличие такого явления, как инерция тел. Поэтому он также известен как Закон инерции. Инерция — это явление сохранения телом скорости движения (и по величине, и по направлению), когда на тело не действуют никакие силы. Чтобы изменить скорость движения тела, на него

необходимо подействовать с некоторой силой. Естественно, результат действия одинаковых по величине сил на различные тела будет различным. Таким образом, говорят, что тела обладают инертностью. Инертность — это свойство тел сопротивляться изменению их текущего состояния. Величина инертности характеризуется массой тела.

Современная формулировка

В современной физике первый закон Ньютона принято формулировать в следующем виде[1]:

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно

которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и

направление своей скорости неограниченно долго.

Закон верен также в ситуации, когда внешние воздействия присутствуют, но взаимно компенсируются (это следует из 2-го закона Ньютона, так как скомпенсированные силы сообщают телу нулевое суммарное ускорение).

Историческая формулировка

Ньютон в своей книге «Математические начала натуральной философии» сформулировал первый закон механики в следующем виде:

Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного

движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

С современной точки зрения, такая формулировка неудовлетворительна. Во-первых, термин «тело» следует заменить термином «материальная точка», так как тело конечных размеров в отсутствие внешних сил может совершать и вращательное движение. Во-вторых, и это главное, Ньютон в своём труде опирался на существование абсолютной неподвижной системы отсчёта, то есть абсолютного пространства и времени, а это представление современная физика отвергает. С другой стороны, в произвольной (скажем, вращающейся) системе отсчёта закон инерции неверен. Поэтому ньютоновская формулировка нуждается в уточнениях.

[править]Второй закон Ньютона

Основная статья: Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона — дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этогоускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

[править]Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо

пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её

массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где — ускорение материальной точки; — сила, приложенная к материальной точке;

— масса материальной точки.

Или в более известном виде:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна

равнодействующей всех приложенных к ней сил.

где — импульс точки,

где — скорость точки;

— время;

— производная импульса по времени.

Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:

или

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит

по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Интересно, что если добавить требование инерциальной системы отсчёта, то в такой формулировке этот закон справедлив даже в релятивистской механике.

2) Третий закон Ньютона

Этот закон объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой

силой , а второе — на первое с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются.

Современная формулировка

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу,

направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными

по направлению:

Закон отражает принцип парного взаимодействия. То есть все силы в природе рождаются парами.

]Историческая формулировка

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе, взаимодействия двух тел

друг на друга равны и направлены в противоположные стороны.

Для силы Лоренца третий закон Ньютона не выполняется. Лишь переформулировав его как закон сохранения импульса в замкнутой системе из частиц и электромагнитного поля, можно восстановить его справедливость[2].

Выводы

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что, как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, если потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только

от модуля разности координат этих тел , то возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

Законы Ньютона являются основными законами механики. Из них могут быть выведены уравнения движения механических систем. Однако не все законы механики можно вывести из законов Ньютона. Например, закон всемирного тяготения или закон Гука не являются следствиями трёх законов Ньютона.

ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА

Импульс силы. Покой и движение тела относительны, скорость движения тела зависит от выбора системы отсчета. По второму закону Ньютона независимо от того, находилось ли тело в покое или двигалось, изменение скорости его движения может происходить только при действии силы, т. е. в результате взаимодействия с другими телами.

Если на тело массой m в течение времени t действует сила и скорость его движения изменяется от до до , то ускорение движения тела равно

Таким образом, векторная сумма импульсов двух тел до взаимодействия равна векторной сумме их импульсов после взаимодействия.

Экспериментальные исследования взаимодействий различных тел — от планет и звезд до атомов и элементарных частиц

— показали, что в любой системе взаимодействующих между собой тел при отсутствии действия сил со стороны других тел, не входящих в систему, или равенстве нулю суммы действующих сил геометрическая сумма импульсов тел остается неизменной.

Система тел, не взаимодействующих с другими телами, не входящими в эту систему, называется замкнутой системой.

В замкнутой системе геометрическая сумма импульсов тел остается постоянной при любых взаимодействиях тел этой системы между собой.

Этот фундаментальный закон природы называется законом сохранения импульса.

Необходимым условием применимости закона сохранения импульса к системе взаимодействующих тел является использование инерциальной системы отсчета.

3)

3.3. Закон сохранения энергии в механике

Путь к правильному пониманию переходов движения из одной формы в другую был намечен М.В. Ломоносовым, который сформулировал закон сохранения массы вещества при химических превращениях и закон сохранения материи и движения.

Количественную формулировку закона сохранения и превращения энергии дали немецкие ученые Ю. Майер и Г. Гельмгольц (XIX в.): в замкнутой системе энергия

может переходить из одних видов в другие и передаваться от одного тела к другому, но ее общее количество остается неизменным.

Закон сохранения и превращения энергии является одним из фундаментальных законов природы, справедливым как для систем макроскопических тел, так и для систем элементарных частиц. Он является выражением вечности и неуничтожимости движения в природе, которое лишь переходит из одной формы в другую.

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны (потенциальны), отсутствуют взаимные превращения механической энергии в другие виды энергии. Такие системы называются замкнутыми консервативными и для них справедлив закон сохранения энергии в механике: механическая энергия замкнутой консервативной системы не изменяется в процессе ее движения:

(3.11)

Для вывода этого закона рассмотрим систему материальных точек максами m1, m2, … , mn, движущихся со скоростями v1, v2, … , vn. Пусть F'1, F'2, … , F'n - равнодействующие внутренних консервативных сил, действующие на каждую из этих

точек, а F1, F2, … , Fn - равнодействующие внешних сил, которые также будем считать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные точки действует еще и внешние неконсервативные силы; равнодействующие этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначимƒ1, ƒ2, … , ƒn. При ν << c массы материальных точек постоянны и уравнения движения этих точек по второму закону Ньютона имеют следующий вид:

(3.12)

Двигаясь под действием сил, точки системы за интервал времени dt совершают перемещения dr1, dr2, … , drn. Умножим каждое уравнение системы (3.12) на соответствующее перемещение:

Учитывая, что , получим:

Складывая эти уравнения, получим:

(3.13)

Первый член левой части (3.13) представляет собой приращение кинетической энергии системы:

Второй член равен элементарной работе внутренних и внешних консервативных сил, т.е. равен элементарному приращению потенциальной

энергии dEk.

Правая часть уравнения (3.13) задает работу внешних неконсервативных сил, действующих на систему. Таким образом, имеем:

(3.14)

При переходе системы из состояния 1 в какое-либо состояние 2

т.е изменение полной механической энергии системы при переходе из одного состояния в другое равно работе, совершенной при этом внешними неконсервативными силами. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то из (3.14) следует, что

откуда

что и требовалось доказать.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью времени, т.е. инвариантностью физических законов относительно выбора начала отсчета времени.

Механические системы, на тела которых действуют только консервативные силы (внутренние и внешние), называются консервативными системами. Системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие виды энергии, называются диссипативными (диссипация – рассеяние энергии). Строго говоря, все системы в природе являются диссипативными и в них закон сохранения механической энергии нарушается. Однако при изменении механической энергии всегда возникает эквивалентное количество энергии другого вида. Таким образом, энергия никогда не исчезает и не появляется вновь, она лишь превращается из одного вида в другой. В этом состоит физическая сущность закона сохранения и превращения энергии – сущность неуничтожимости материи и ее движения.

Во многих задачах рассматривается энергия которого является

координаты х), т.е. En = ƒ(х). некоторого аргумента называется определить характер движения

В общем случае потенциальная например с несколькими

Проанализируем эту консервативна и в ней выполняется заданная полная энергия тела,

в областях I и III. Переходить

как ему препятствует потенциальный интервалу значений х, при

W. Для того чтобы тело смогло

сообщить дополнительную энергию, равную высоте барьера или превышающую ее. В области I тело с полной энергией W оказывается «запертым» в потенциальной

яме ABC и совершает колебания между точками с координатами хA и хC.

В точке В с координатой х0 потенциальная энергия тела минимальна. Так как

действующая на тело сила , а условие минимума потенциальной

энергии , то в точке В Fx = 0. При смещении тела из положения х0 в результате малых возмущений в системе оно испытывает действие возвращающей силы, поэтому положение х0является положением устойчивого равновесия. Указанные условия выполняются и для точки х* (для Enmax). Однако эта точка соответствует положению неустойчивого равновесия, так как при малых возмущениях в системе появляется сила, стремящаяся удалить тело от этого положения. Таким образом, в состоянии устойчивого равновесия замкнутой консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимальное значение, а в состоянии неустойчивого равновесия – максимальное значение.

Рассмотрим применение закона сохранения энергии в механике к расчету абсолютно упругого прямого центрального удара двух шаров. Абсолютно упругим называется такой удар, в результате которого не происходит превращения механической энергии системы соударяющихся тел в другие виды энергии.

Пусть два абсолютно упругих шара массами m1 и m2 до удара движутся поступательно со скоростями v1 и v2, направленными в одну сторону вдоль линии их центров, причем v1 > v2 (рис. 3.7, а). Требуется найти скорости шаровu1 и u2 после их соударения (рис. 3.7, б).

По закону сохранения энергии в механике имеем:

(3.15)