Ekzamen_MEKhANIKA

13)Стоячие волны

Когда две одинаковые волны с равными амплитудами и периодами распространяются навстречу друг другу, то при их наложении возникают стоячие волны. Стоячие волны могут быть получены при отражении от препятствий. Допустим, излучатель посылает волну к препятствию (падающая волна). Отраженная от него волна наложится на падающую волну. Уравнение стоячей волны можно получить сложением уравнения падающей волны

Отраженная волна движется в направлении, противоположном падающей волне, поэтому расстояние х берем со знаком минус. Смещение точки, которая участвует одновременно в двух колебаниях, равно алгебраической сумме . После несложных преобразований, получаем

(8.15)

Это уравнение стоячей волны определяет смещение любой точки волны.

(8.16)

Величина

не зависит от времени и определяет амплитуду любой точки с координатой х. Каждая точка совершает гармоническое колебание с периодом Т. Амплитуда Аст для каждой точки вполне определена. Но при переходе от одной точки волны к другой она

изменяется в зависимости от расстояния х. Если придавать х значения, равные и

т.д., то при подстановке в уравнение (8.16) получим . Следовательно, указанные точки волны остаются в покое, т.к. амплитуды их колебаний равны нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания происходят

с максимальной амплитудой, называются пучностями. Расстояние между соседними узлами (или пучностями) называются длиной стоячей волны и равно

где λ - длина бегущей волны.

В стоячей волне все точки среды, в которой они распространяются, расположенные между двумя соседними узлами, колеблются в одной фазе. Точки среды, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе -фазы их отличаются на π. т.е. при переходе через узел фаза колебаний скачкообразно меняется на π. В отличие от бегущих волн в стоячей волне отсутствует перенос энергии вследствие того, что образующие эту волну прямая и обратная волны переносят энергию в равных количествах и в прямом и в противоположном направлениях. В том случае, когда волна отражается от среды более плотной, чем та среда, где распространяется волна, в месте отражения возникает узел, фаза изменяется на противоположную. При этом говорят, что происходит потеря половины волны. Когда волна отражается от среды менее плотной в месте отражения, появляется кучность, и потери половины волны нет.

14)Звуковые волны в газе. Эффект Доплера в акустике.

Звуковые волны (звук) — это упругие продольные волны, которые, воздействуя на слуховой аппарат человека, вызывают определенные (слуховые) ощущения.

Человеческое ухо воспринимает в виде звука упругие колебания, частота которых находится в пределах от 16 до 20000 Гц. Такие колебания называются акустическими. Акустика — раздел физики, в котором рассматриваются свойства звуковых волн, закономерности их возбуждения, распространения и действия на встречные препятствия.

Звуковые колебания с частотами, меньшими 16 Гц, называются инфразвуками, а с частотами, большими 20000 Гц, — ультразвуками. Любое тело (твердое, жидкое или газообразное), колеблющееся со звуковой частотой, создает в окружающей среде звуковую волну.

В вакууме звуковые волны распространяться не могут. Для доказательства этого электрический звонок нужно поместить под колокол воздушного насоса (рис. 15.9). По мере того как давление воздуха под колоколом уменьшается, звук ослабевает, пока не прекращается совсем, хотя колебания звонка происходят.

Рис. 15.9

Плохо проводят звук такие материалы, как войлок, пористые панели, прессованная пробка и т.д. Эти материалы используют для звукоизоляции, т.е. для защиты помещений от проникновения в них посторонних звуков.

Звуковые волны распространяются с конечной скоростью, которая зависит от особенностей среды: плотности, упругости, температуры. Например, скорость звука в воздухе при нормальных условиях равна 331 м\с, в водороде — 1270 м\с, а в углекислом газе — 258 м\с.

Скорость распространения звуковых волн в газах можно рассчитать по формуле

υ=sqrt(γRT/M)

где γ — показатель адиабаты (см. § 79) (для воздуха γ =1,4), R — универсальная газовая постоянная, Т — абсолютная температура, М — молярная масса газа.

Скорость звука в воде больше, чем в воздухе. При 8 °С скорость звука в воде равна 1435 м\с. В твердых телах она еще больше, чем в жидкостях. Например, в стали скорость звука приблизительно равна 5200 м\с, в меди — 3910 м\с, в алюминии — 4880 м\с.

Скорость распространения продольных звуковых волн в упругом стержне υprod=sqrt(E/ρ) где Е — модуль Юнга, ρ — плотность материала стержня.

Эффект Доплера

Эффектом Доплера* называется изменение частоты колебаний, воспринимаемой приемником, при движении источника этих колебаний и приемника друг относительно друга. Например, из опыта известно, что тон гудка поезда повышается по мере его приближения к платформе и понижается при удалении, т. е. движение источника колебаний (гудка) относительно приемника (уха) изменяет частоту принимаемых колебаний.

( X. Доплер (1803—1853) — австрийский физик, математик и астроном).

Для рассмотрения эффекта Доплера предположим, что источник и приемник звука движутся вдоль соединяющей их прямой; vист и vпр — соответственно скорости движения источника и приемника, причем они положительны, если источник (приемник) приближается к приемнику (источнику), и отрицательны, если удаляется. Частота колебаний источника

равна v0.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды, т. е. vист = vпр=0. Если v — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде, то длина волны =vT=v/v0. Распространяясь в среде, волна достигнет приемника и вызовет колебания его звукочувствительного элемента с частотой

Следовательно, частота v звука, которую зарегистрирует приемник, равна частоте v0, с которой звуковая волна излучается источником.

2. Приемник приближается к источнику, а источник покоится, т. е. vпр>0, vист=0. В данном случае скорость распространения волны относительно приемника станет равной v + vпр. Так как длина волны при этом не меняется, то

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, в (v+vпр)/v раз больше частоты колебаний источника.

3. Источник приближается к преемнику, а приемник покоится, т. е. vист >0, vпр=0.

Скорость распространения колебаний зависит лишь от свойств среды, поэтому за время, равное периоду колебаний источника, излученная им волна пройдет в направлении к приемнику расстояние vT (равное длине волны ) независимо от того, движется ли источник или покоится. За это же время источник пройдет в направлении волны расстояние vистT (рис. 224), т. е. длина волны в направлении движения сократится и станет равной '= —vистТ=(v—vист)T, тогда

т. е. частота колебаний, воспринимаемых приемником, увеличится в v/(v – vист) раз. В случаях 2 и 3, если vист<0 и vпр<0, знак будет обратным.

4. Источник и приемник движутся относительно друг друга. Используя результаты, полученные для случаев 2 и 3,

можно записать выражение для частоты колебаний, воспринимаемых приемником:

(159.1)

причем верхний знак берется, если при движении источника или приемника происходит их сближение, нижний знак — в случае их взаимного удаления.

Из приведенных формул следует, что эффект Доплера различен в зависимости от того, движется ли источник или приемник. Если направления скоростей vпр иvист не совпадают с проходящей через источник и приемник прямой, то вместо этих скоростей в формуле (159.1) надо брать их проекции на направление этой прямой.

15)Принципы относительности Энштейна и Галилея. Энштейн.

Принцип относительности Эйнштейна представляет собой фундаментальный физический закон, согласно которому любой процесс протекает одинаково в изолированной материальной системе, находящейся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения. Иначе говоря, законы физики имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

Воснове СТО лежат два постулата, выдвинутых Эйнштейном.

1.Все законы природы одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.

Уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к любым инерциальным системам отсчета. Инвариантность – неизменность вида уравнения при переходе из одной системы отсчета в другую (при замене координат и времени одной системы – другими).

2.Скорость света в пустоте одинакова во всех инерциальных системах отсчета и не зависит от скорости источника и приемника света.

Все как-то пытались объяснить отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли, а Эйнштейн – постулировал это, как закон.

Впервом постулате главное то, что время тоже относительно – такой же параметр, как и скорость, импульс и др.

Второй – возводит отрицательный результат опыта Майкельсона–Морли в ранг закона природы: c = const.

Специальная теория относительности представляет физическую теорию, изучающую пространственновременные закономерности, справедливые для любых физических процессов, когда можно пренебречь действием тяготения. СТО, опираясь на более совершенные данные, раскрывает новый взгляд на свойства пространства и времени. Эти свойства необходимо учитывать при скоростях движения, близких к скорости света.

Галилея.

ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ

Для изучения механических явлений надо выбрать ту или иную систему отсчета. В различных системах отсчета законы движения имеют, вообще говоря, различный вид. Если взять произвольную систему отсчета, то может оказаться, что законы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней весьма сложно. Естественно,

возникает задача отыскания такой системы отсчета, в которой законы механики выглядели бы наиболее просто.

По отношению к произвольной системе отсчета пространство является неоднородным и неизотропным. Это значит, что если какое-либо тело не взаимодействует ни с какими другими телами, то, тем не менее, его различные положения в пространстве и его различные ориентации в механическом отношении не эквивалентны. То же самое относится в общем случае и ко времени, которое будет неоднородным, т.е. его различные моменты неэквивалентными. Усложнение, которое вносили бы такие свойства пространства и времени в описание механических явлений, — очевидно. Как, например, свободное (т.е. не подвергающееся внешним воздействиям) тело не могло бы покоиться: если скорость тела в некоторый момент времени и равна нулю, то уже в следующий момент тело начало бы двигаться в некотором направлении.

Оказывается, однако, что всегда можно найти такую систему отсчета, по отношению к которой пространство является однородным и изотропным, а время — однородным. Такая система называется инерциальной. В ней, в частности, свободное тело, покоящееся в некоторый момент времени, остается в покое неограниченно долго.

Мы можем теперь сразу сделать некоторые заключения о виде функции Лагранжа свободно движущейся материальной точки в инерциальной системе отсчета. Однородность пространства и времени означает, что эта функция не может содержать явным образом ни радиус-вектора г точки, ни времени t, т.е. L является функцией лишь скорости v. В силу же изотропии пространства функция Лагранжа не может зависеть также и от направления вектора v, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата v2 = v2:

Ввиду независимости функции Лагранжа от г имеем ∂L/∂r = 0, и потому уравнения Лагранжа имеют вид

= 0

откуда ∂L/∂v = const. Но поскольку ∂L/∂v является функцией только скорости, то отсюда следует, что и

Таким образом, мы приходим к выводу, что в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это утверждение составляет содержание так называемого закона инерции.

Если наряду с имеющейся у нас инерциальной системой отсчета мы введем другую систему, движущуюся относительно первой прямолинейно и равномерно, то законы свободного движения по отношению к этой новой системе будут теми же, что и по отношению к первоначальной: свободное движение снова будет происходить с постоянной скоростью.

Опыт показывает, однако, что не только законы свободного движения будут одинаковыми в этих системах, но что и во всех других механических отношениях они будут полностью эквивалентными. Таким образом, существует не одна, а бесконечное множество инерциальных систем отсчета, движущихся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Во всех этих системах свойства пространства и времени одинаковы и одинаковы все законы механики. Это утверждение составляет содержание так называемого принципа относительности Галилея одного из важнейших принципов механики.

Все сказанное достаточно ясно свидетельствует об исключительности свойств инерциальных систем отсчета, в силу которых именно эти системы должны, как правило, использоваться при изучении механических явлений. Везде в дальнейшем, где обратное не оговорено особо, мы будем рассматривать только инерциальные системы отсчета.

Полная механическая эквивалентность всего бесчисленного множества таких систем показывает в то же время, что не существует никакой одной «абсолютной» системы отсчета, которую можно было бы предпочесть другим системам.

Координаты r и r’ одной и той же точки в двух различных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью V, связаны друг с другом соотношением

При этом подразумевается, что ход времени одинаков в обеих системах:

Предположение об абсолютности времени лежит в самой основе представлений классической механики.

Формулы (3.3), (3.4) называют преобразованием Галилея. Принцип относительности Галилея можно сформулировать как требование инвариантности уравнений движения механики по отношению к этому преобразованию.

16)

Основные положения Специальной теории относительности

Постулаты Эйнштейна. Современный релятивистский подход к описанию природных явлений базируется на двух постулатах Эйнштейна.

Первый является естественным обобщением принципа относительности Галлилея с механических на все без исключения явления природы и может быть сформулирован как утверждение о невозможности наблюдателю, находящемуся в замкнутой системе отсчета, при помощи какого-либо физического (а значит и любого другого) опыта установить, покоится ли его система отсчета или находится в состоянии равномерного прямолинейного движения. В пользу этого постулата свидетельствует обширный житейский опыт, показывающий, что находящийся в закрытом помещении (трюме корабля) наблюдатель не в состоянии зарегистрировать факт его движения не только в результате постановки механических опытов, но и с

помощью своих ощущений, в основе возникновения которых лежат, как известно, электрохимические процессы.

Вторым постулатом Эйнштейна является утверждение о постоянстве скорости света, неоднократно проверявшееся не только Майкельсоном, но и впоследствии в более точных экспериментах.

Основные выводы релятивистской кинематики. На основе сформулированных постулатов Эйнштейна пересматриваются все основные положения классической кинематики. Делается вывод о том, что понятия одновременности собитий, доительностьи временного промежутка и длины отрезка перестают носить абсолютный характер, становясь зависимыми от выбора системы отсчета, из которой ведется наблюдение (подобно тому, как при классическом описании координаты материальной точки и ее скорость носили относительный характер).

Предсказываемый релятивистской теорией эффект замедления времени состоит в том, что с точки зрения движущегося относительно рассматриваемой системы наблюдателя все интервалы времени (t’), характеризующие поцессы в этой системе (колебания маятников часов, распад нестабильных частиц, старение биологических организмов и т.д.) увеличиваются по сравнению с интервалами, наблюдаемыми в

самой этой системе ():

(1) .

Для находящихся же в самой расматриваемой системе наблюдателей происходящие в ней процессы протекают совершенно нормально, а время у движущегося наблюдателя “течет замедленно”.

Эффект сокращения расстояний состоит в уменьшении длин отрезков с точки зрения наблюдателей, перемещающихся вдоль этих отрезков (отрезки, ориентированные перпендикулярно скорости относительного движения сохраняют свою длину неизменной):

(2)

Описанные эффекты проявляются лишь при скоростях, сравнимых со скоростью света и в настоящее время экспериментально зарегистрированы в пучках ультарелятивискских частиц, создаваемых на

современных ускорителях. Например, короткоживущие частицы (время жизни , двигаясь с околосветовыми скоростями, вопреки классическим представлениям достигают приемника, удаленного на

расстояние, значительно превышающее . С точки зрения неподвижного наблюдателя это явление можно объеснить эффектом замедления времени (1), “удлинняющим” жизнь частицы, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с частицей - эффектом сокращения расстояния до мишени, “летящей ему навстречу” (2).

Полученные Лоренцем преобразования (10.13) являются чисто математическим следствием рассмотренных соотношений (1) и (2).

С эффектом замедления времени часто ошибочно связывают “парадокс близнецов” - утверждение о том, что двигавшийся с околосветовыми скоростями космический путешественник должен вернуться на Землю менее постаревшим, чем его брат, оставшийся дома. Кажущийся парадокс связан с тем, что всилу относительности равномерного движения с точки зрения космического путешественника эффект замедления времени должен наблюдаться на самой Земле. Реального противоречия не возникает, поскольку для того, чтобы возвратиться домой, космонавт должен в течение определенного времени двигаться с ускорением (тормозить, разворачивать корабль, вновь ускоряться), что нарушает симметрию между ним и наблюдателем на Земле (напомним, что ускорение носит абсолютный характер). Адекватное описание явлений, происходящих в ускоренно движущихся системах отсчета, выходит за рамки СТО и состаяляет предмет). Общей Теории Относительности (ОТО) .

Пространство Минковского. Широко используемая в классической физике векторная форма записи законов природы объясняется не только желанием сэкономить место, но и является математическим отражением факта инвариантности законов природы относительно поворотов выбранной системы координат в пространстве, что, разумеется, требует инвариантной формы их математической записи. Действительно, в изображенных на рис. 12_1 повернутых друг относительно друга системах координат проекции всех векторов на одноименные оси различны, но равенство

(3)

справедливо в каждой из систем, т.е. остается инвариантным относительно пространственных вращений. Помимо равенств между векторами инвариантами являются скалярные произведения векторов и вычисляемые с их помощью квадраты длин:

(4) .

Координаты же вектора в новой системе отсчета могут быть рассчитаны через координаты в старой с помощью тригонометрии:

(5) .

Последовательное релятивистское описание явлений природы должно быть инвариантным относительно переходов из одной инерциальной системы отсчета в другую, движущуюся относительно первой. Как отмечалось, при таких переходах перестает быть справедливым классический векторный закон сложения скоростей, длина векторов изменяется, а в закон преобразований их компонент (преобразования Лоренца) помимо пространственных переменных входит время:

(6) .

В создавшейся ситуации естественным выходом был переход от несвязанных друг с другом пространственного (трехмерного) и временного (одномерного) описаний явлений к единому описанию событий в четырехмерном пространстве-времени (пространстве Минковского) при помощи четырехвекторов, три компоненты которых совпадают с обыконвенными простарнственными, а последняя дает временное описание. В этом пространстве переход в движущуюся систему отсчета рассматриваентся как обобщение понятия поворота, аналогом трехмерных траекторий являются четырехмерные кривые - мировые линии, инвариантами являются скалярные произведения четырехвекторо, определяемые соотношением:

(7) ,

и интервалы, являющиеся аналогами длин векторов:

(8)

(следствие преобразований Лоренца).

отличающимся знаками от обычного “трехмерного” определения. В связи с этим геометрическое свойства псевдоевклидового пространства Минковского существенно отличаются от привычных свойств евклидового пространства .

Световой конус.Мировыми линиями свтовых лучей, выходящих из одной точки пространства Минковского (т.е. одновременно испущенных из одной точки трехмероного пространства) являются прямые,

составляющие с осью ct одинаковый угол и образующие световой конус (рис. 12_2).. Мировые линии всех тел могут лежать лишь внутри светового конуса, поскольку допустимые скорости движения не могут превосходить с. Лежащие в верхней части светового конуса точки пространства Минковского образуют абсолютное будущее (множество событий, на которые в принципе можно повлиять, находясь в вершине конуса), нижняя часть светового конуса соответствует абсолютному прошлому (множество событий, которые в могли повлиять на происходящее в вершине конуса). Вне светового конуса лежат абсолютно недоступные событмя (т.е. невлияющие и независимые от происходящего в вершине конуса).

Релятивистская динамика строится как обобщение классической в соответствии с требованиями релятивистской инвариантности. Важнейшую роль в ней играет четырехвектор энергии-импульса, получающийся из четырехвектора скорости домножением на инвариант массу покоя (массу тела в системе отсчета, где оно покоится):

(9)

Пространственные компоненты этого четырехвектора весьма схожи с классическим импульсом mV. Учитывая эту аналогию иногда вводят понятие релятивистской массы, величина которой возрастает с увеличением скорости движения тела относительно неблюдателя:

(10) .

С учетом (10) релятивистское уравнение движения в привычных трехмерных обозначениях принимает вид, аналогичный второму закону Ньютона в импульсной формулировке:

(11)

Возрастание релятивистской массы является одним из оснований утверждения о невозможность разогнать тело с ненулевой массой покоя до скорости света: по мере увеличения его скорости под действием

постоянной силы ускорение начнет уменьшаться и стремиться к нулю при .

Эффект возрастания релятивистской массы при приближении скорости к предельной наблюдается экспериментально в ускорителях ультарелятивистских частиц сиххрофазотронов, принцип действия которых аналогичен циклотронным ускорителям. Основное отличие состоит в том, что при больших скоростях разгоняемых частиц радиусы их орбит

(12)

и периоды вращения

(13)

начинают существенно превосходить результаты расчетов по классическим формулам. Т.о. в настоящее время результаты СТО используются не только в науке, но и в инженерных расчетах.

Смысл четвертой компоненты четырехвектора энергии-импульса можно установить на основе сравнения

еепроизведения на скорость света с классическим выражением для кинетической энергии:

(12)

Принцип соответствия позволяет предположить, что величина

(13)

представляет собой релятивистское выражение для энергии тела, связанной с его движением. Однико, даже в случае нулевой скорости, согласно (13) лубое толо обладает энергией покоя, пропорциональной его массе. Эта колоссальная (по сравненью с характерными для классической теории масштабами) энергия до создания теории относительности оставалось “незамеченной” из-за того, что в подавляющем большинстве процессов суммарная масса составляющих систему объектов остается практически неизменной. Открытие энергии покоя имело громадное значение для развития энергетики и военной техники.

Релятивистская электродинамика. Создание релятивистской теории позволило переписать систему уравнений Максвелла в весьма элегантной и краткой четырехмерной форме:

(14) ,

где

(15) - релятивистски инвариантный четырехмерный аналог оператора Лапласа - оператор Д’Аламбера,

(16) - -четырехмерный потенциал, состоящий из трех компонент векторного потенциала магнитного поля и

скалярного потенциала электрического, - четырехвектор плотности тока, получающийся домножением четырехвектора скорости на релятивистски-инвариантную величину электрического заряда.

Излучение электромагнитных волн. Решением Уравнения (14) в пустом пространстве являются электромагнитные волны, распространяющиеся в пустом пространстве с инвариантной относительно преобразований Лоренца скоростью с. Рассмотрение уравнения (14) с учетом зарядо и токов приводит к выводу, что электромагнитные волны создаются электрическими зарядами при их ускоренном движении. При этом электромагнитное поле, создаваемое точечным зарядом на больших расстояниях от него (рис. 12_3) имеет вид

(17) ,

т.е. убывает гораздо медленнее, чем статические поля. Это свойство обуславливает удобство использования переменных электромагнитных полей в целях связи.

Происхождение силы Лоренца. Существование зависящей (вопреки требованием классической теории) от скорости относительно наблюдателя магнитной силы Лоренца в релятивистской теории находит весьма “неожиданное” объяснение. Сами магнитные взаимодействия и описывающая их сила являются “лишними” в теории электричества, т.е. адекватное описание реальности возможно и бех их использования на основе закона Кулона и релятивистских формул преобразования физических величин при переходах из одной системы отсчета в другую. Релятивистских эффект изменения силы взаимодействия между двумя зарядами с точки зрения движущегося наблюдателя был замечен экспериментально задолго до создания теории относительности и отнесен за счет существования “новой” магнитной силы, которую пришлось наделить весьма странными свойствами. Если бы теория магнетизма создавалась в наши дни, “магнитные взаимодейстивя” были бы предсказаны теоретически как релятивистская поправка к электростатическим.

17)Преобразования Лоренца.

4.4. Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x', y', z') и моментом времени t'этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K'.

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K' движется относительно K со скоростью υ вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

β = υ / c.

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой

точке x' системы K' происходит процесс длительностью τ0 = t'2 – t'1 (собственное время), где t'1 и t'2 – показания часов в системе K' в начале и конце процесса. Длительность τ этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K' (x'1 ≠ x'2)одновременно с точки зрения наблюдателя в K' (t'1 = t'2 = t') происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными,

оказываются неодновременными. Более того, знак разности t2 – t1определяется знаком выражения υ(x'2 – x'1), поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.