Ekzamen_MEKhANIKA

В системе двух тел (рисунок 2) на первое тело массой m1 действует сила притяжения со стороны второго тела. Аналогично на второе тело массой m2 действует сила притяжения . Обе силы и равны между собой по величине и направлены вдоль , где

С учетом 2-го закона Ньютона можно записать следующие дифференциальные уравнения, описывающие движение каждого тела:

или

Из последних двух уравнений следует, что

При большом различии в массах тел можно пренебречь массой меньшего тела в правой части полученного уравнения. Так, например, масса Солнца в 333000 раз больше массы Земли. В этом случае дифференциальное уравнение можно записать в более простом виде:

где MC − масса Солнца.

Гравитационное взаимодействие тел осуществляется посредством гравитационного поля, которое можно описать с помощью скалярного потенциала φ. Сила, действующая на тело массой m, помещенное в поле с потенциалом φ, будет равна

В случае точечной массы M потенциал гравитационного поля определяется формулой

Последняя формула справедлива и для распределенных тел, обладающих центральной симметрией − таких, например, как планеты или звезды.

Законы Кеплера

Основные законы движения планет были установлены Иоганном Кеплером (1571-1630) на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге (1546-1601). В 1609 году Кеплер сформулировал первые два закона. Третий закон был открыт в 1619 году. Позже, в конце 17 века, Исаак Ньютон математически доказал, что все три закона Кеплера являются следствием закона всемирного тяготения.

Данное выражение можно переписать через ускорение свободного падения g = GMЗ/RЗ2, где RЗ − радиус Земли. Тогда

Отсюда получаем, что при движении из бесконечности скорость тела в момент падения на землю будет составлять

то есть будет равна второй космической скорости v ≈ 10.2 км/c.

При конечном значении L скорость тела в момент падения будет меньше второй космической скорости:

Определим теперь время падения тела на Землю, считая что начальное расстояние до центра Земли равно L. Поскольку dr/dt = −v, получаем следующее дифференциальное уравнение, описывающее закон движения тела вдоль радиальной оси:

где расстояние r изменяется от L до RЗ.

Чтобы проинтегрировать данное уравнение, сделаем замену переменной:

Тогда уравнение переписывается в виде

Полученный интеграл является табличным. Известно, что

Следовательно, в нашем случае мы имеем

Подставляя найденный интеграл, запишем уравнение в виде

Перейдем обратно от переменной z к переменной r:

Учитывая начальное условие r(t = 0) = L, находим, что постоянная C равна нулю. Поскольку в момент падения тела r(t = T) = RЗ, то для времени падения T получаем следующее выражение:

После небольшого упрощения окончательный точная формула для времени падения записывается как

При больших значениях отношения L/RЗ (при этом функция arctan стремится к π/2) получаем более простое выражение:

Для примера, оценим с помощью этой формулы время падения тела с расстояния 100000 км:

20)Финитное движение-движение в пределах ограниченного объема в трехмерном случае или ограниченного отрезка в одномерном случае.

Если хотя бы одна из координат тела принимает бесконечно большие по модулю значения-движение Инфинитное.

Космические скорости.

1) Первая космическая скорость круговая скорость) — скорость, которую необходимо придать объекту, который после этого не будет использовать реактивное движение, чтобы вывести его на круговую орбиту (пренебрегая сопротивлением атмосферы и вращением планеты). Иными словами, первая космическая скорость — это минимальная скорость, при которой тело, движущееся горизонтально над поверхностью планеты, не упадёт на неё, а будет двигаться по круговой орбите.

Вычисление

В инерциальной системе отсчёта на объект, движущийся по круговой орбите вокруг Земли будет действовать только одна сила — сила тяготения Земли. При этом движение объекта не будет ни равномерным, ни равноускоренным. Происходит это потому, что скорость и ускорение (величины не скалярные, а векторные) в данном случае не удовлетворяют условиям равномерности/равноускоренности движения — то есть движения с постоянной (по величине и направлению) скоростью/ускорением. Действительно — вектор скорости будет постоянно направлен по касательной к поверхности Земли, а вектор ускорения — перпендикулярно ему к центру Земли, при этом по мере движения по орбите эти векторы

постоянно будут менять свое направление. Поэтому в инерциальной системе отсчета такое движение часто называют «движение по круговой орбите с постоянной по модулю скоростью».

Часто для удобства вычисления первой космической скорости переходят к рассмотрению этого движения в неинерциальной системе отсчета — относительно Земли. В этом случае объект на орбите будет находиться в состоянии покоя, так как на него будут действовать уже две силы: центробежная сила и сила тяготения. Соответственно, для вычисления первой космической скорости необходимо рассмотреть равенство этих сил.

где m — масса объекта, M — масса планеты, G — гравитационная постоянная (6,67259·10−11 м³·кг−1·с−2), — первая космическая скорость, R — радиус планеты. Подставляя численные значения (для

Земли M = 5,97·1024 кг, R = 6 371 км), найдем

7,9 км/с

Первую космическую скорость можно определить через ускорение свободного падения — так как g = GM/R², то

.

Космические скорости могут быть вычислены и для поверхности других космических тел. Например на Луне v1 = 1,68 км/с, v2 = 2,375 км/с

2) Вторая космическая скорость параболическая скорость, скорость освобождения, скорость убегания) —

наименьшаяскорость, которую необходимо придать объекту (например, космическому аппарату), масса которого пренебрежимо мала по сравнению с массой небесного тела (например, планеты), для преодоления гравитационного притяжения этого небесного тела и покидания круговой орбиты вокруг него. Предполагается, что после приобретения телом этой скорости оно более не получает негравитационного ускорения (двигатель выключен, атмосфера отсутствует).

Вторая космическая скорость определяется радиусом и массой небесного тела, поэтому она своя для каждого небесного тела (для каждой планеты) и является его характеристикой. Для Земли вторая космическая скорость равна 11,2 км/с. Тело, имеющее около Земли такую скорость, покидает окрестности Земли и становится спутником Солнца. Для Солнца вторая космическая скорость составляет 617,7 км/с.

Параболической вторая космическая скорость называется потому, что тела, имеющие при старте скорость, в точности равную второй космической, движутся по дуге параболы относительно небесного тела. Однако, если энергии телу придано чуть больше, его траектория перестает быть параболой и становится гиперболой; если чуть меньше, то она превращается в эллипс. В общем случае все они являются коническими сечениями.

Вычисление

Для получения формулы второй космической скорости удобно обратить задачу — спросить, какую скорость получит тело на поверхности планеты, если будет падать на неё из бесконечности. Очевидно, что это именно та скорость, которую надо придать телу на поверхности планеты, чтобы вывести его за пределы её гравитационного влияния.

Запишем закон сохранения энергии

где слева стоят кинетическая и потенциальная энергии на поверхности планеты (потенциальная энергия отрицательна, так как точка отсчета взята на бесконечности), справа то же, но на бесконечности (покоящееся тело на границе гравитационного влияния — энергия равна нулю). Здесь m — масса пробного тела, M — масса планеты,R — радиус планеты, G — гравитационная постоянная, v2 — вторая космическая скорость.

Решая это уравнение относительно v2, получим

Между первой и второй космическими скоростями существует простое соотношение:

Квадрат скорости убегания равен удвоенному ньютоновскому потенциалу в данной точке (например, на поверхности планеты):

3) Третья космическая скорость — минимальная скорость, которую необходимо придать находящемуся вблизи

поверхности Земли телу, чтобы оно могло преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы[1][2].

Вычисление

Для расчёта третьей космической скорости можно воспользоваться следующей формулой[3]:

где v3 — третья космическая скорость, а v1 и v2 — первая для Солнца и вторая для планеты космические скорости соответственно.

Практическое достижение

При старте с Земли, наилучшим образом используя осевое вращение (0.5 км/с) и орбитальное движение планеты (29,8 км/с), космический аппарат может достичь третьей космической скорости уже при 16,6 км/с[2] относительно Земли. Для исключения влияния атмосферного сопротивления предполагается, что космический аппарат приобретает эту скорость за пределами атмосферы Земли. Наиболее энергетически выгодный старт для достижения третьей космической скорости должен осуществляться вблизи экватора, движение объекта должно быть сонаправлено осевому вращению Земли и орбитальному движению Земли вокруг Солнца. При этом скорость движения аппарата относительно Солнца составит 29.8 + 16.6 + 0.5 = 46.9 км/сек.

Траектория аппарата, достигшего третьей космической скорости, будет частью ветви параболы, а скорость относительно Солнца будет асимптотически стремиться к нулю.

На 2012 год ещё ни один космический аппарат не покидал окрестностей Земли с третьей космической скоростью. Наибольшей скоростью покидания Земли обладал КАНовые горизонты - 16.21 км/сек, но за счёт гравитационного маневра у Юпитера, он покинет Солнечную систему со скоростью около 13 км/сек после окончания основной части своей миссии. Аналогичным образом ускорялись и другие КА, уже покинувшие Солнечную систему (Вояджер- 1 Вояджер-2, Пионер-10 и Пионер-11). Все они покидали окрестности Земли со скоростями, существенно меньшими третьей космической.

4) етв ртая космическая скорость — минимально необходимая скорость тела, позволяющая преодолеть притяжение галактики в данной точке. Численно равна квадратному корню из гравитационного потенциала в данной точке галактики (если выбрать гравитационный потенциал равным нулю на бесконечности).

Четвёртая космическая скорость не постоянна для всех точек галактики, а зависит от координаты. По оценкам, в районе нашего Солнца четвёртая космическая скорость составляет около 550 км/с. Значение сильно зависит не только (и не столько) от расстояния до центра Галактики, но и от распределения масс вещества по Галактике, о которых пока нет точных данных, ввиду того что видимая материя составляет лишь малую часть общей гравитирующей массы, а все остальное — скрытая масса. Вне диска Галактики распределение масс приблизительно сферически симметрично, как следует из измерений скоростей шаровых скоплений и других объектов сферической подсистемы.

направлена к ней под углом φ (на рис. 2.1 обозначена штриховым отрезком со стрелкой). Тогда сила реакции стенки R на жидкость будет иметь ту же самую величину, но

Рис. 2.1. Схема, иллюстрирующая свойства гидростатического давления а - первое свойство; б - второе свойство

Сила нормального давления Rn вызывает в жидкости напряжения сжатия. Этим напряжениям жидкость легко противостоит. Сила Rτ действующая на жидкость вдоль стенки, должна была бы вызвать в жидкости касательные напряжения вдоль стенки и частицы должны были бы перемещаться вниз. Но так как жидкость в резервуаре находится в состоянии покоя, то составляющая Rτ отсутствует. Отсюда можно сделать вывод первого свойства гидростатического давления.

Свойство 2. Гидростатическое давление неизменно во всех направлениях.

В жидкости, заполняющей какой-то резервуар, выделим элементарный кубик с очень малыми сторонами x, y, z (рис.2.1, б). На каждую из боковых поверхностей будет давить сила гидростатического давления, равная произведению соответствующего

соответственно P''x, P''y, P''z. Поскольку кубик находится в равновесии, то можно записать равенства

Сократив полученные равенства, найдем, что

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z + γΔz = P''z

Членом третьего уравнения γΔz, как бесконечно малым по сравнению с P'z и P''z, можно пренебречь и тогда окончательно

P'x = P''x; P'y = P''y; P'z=P''z

Вследствие того, что кубик не деформируется (не вытягивается вдоль одной из осей), надо полагать, что давления по различным осям одинаковы, т.е.

P'x = P''x = P'y = P''y = P'z=P''z

Это доказывает второй свойство гидростатического давления.

Свойство 3. Гидростатическое давление в точке зависит от ее координат в пространстве.

Это положение не требует специального доказательства, так как ясно, что по мере увеличения погружения точки давление в ней будет возрастать, а по мере уменьшения погружения уменьшаться. Третье свойство гидростатического давления может быть записано в виде

P=f(x, y, z)

2.2. Основное уравнение гидростатики

Рассмотрим распространенный случай равновесия жидкости, когда на нее действует только одна массовая сила - сила тяжести, и получим уравнение, позволяющее находить гидростатическое давление в любой точке рассматриваемого объема жидкости. Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.

Пусть жидкость содержится в сосуде (рис.2.2) и на ее свободную поверхность действует давление P0 . Найдем гидростатическое давление P в произвольно взятой точке М, расположенной на глубине h. Выделим около точки М элементарную горизонтальную площадку dS и построим на ней вертикальный цилиндрический объем жидкости высотой h. Рассмотрим условие равновесия указанного объема жидкости, выделенного из общей массы жидкости. Давление жидкости на нижнее основание цилиндра теперь будет внешним и направлено по нормали внутрь объема, т.е. вверх.

Рис. 2.2. Схема для вывода основного уравнения гидростатики

Запишем сумму сил, действующих на рассматриваемый объем в проекции на вертикальную ось:

PdS - P0 dS - ρghdS = 0

Последний член уравнения представляет собой вес жидкости, заключенный в рассматриваемом вертикальном цилиндре объемом hdS. Силы давления по боковой поверхности цилиндра в уравнение не входят, т.к. они перпендикулярны к этой поверхности и их проекции на вертикальную ось равны нулю. Сократив выражение на dS и перегруппировав члены, найдем

P = P0 + ρgh = P0 + hγ

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики. По нему можно посчитать давление в любой точке покоящейся жидкости. Это давление, как видно из уравнения, складывается из двух величин: давления P0 на внешней поверхности жидкости и давления, обусловленного весом вышележащих слоев жидкости.

Из основного уравнения гидростатики видно, что какую бы точку в объеме всего сосуда мы не взяли, на нее всегда будет действовать давление, приложенное к внешней поверхности P0. Другими словами давление, приложенное к внешней поверхности жидкости, передается всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Это положение известно под названием закона Паскаля.

Поверхность, во всех точках которой давление одинаково, называется поверхностью уровня (подробно рассмотрим в п.2.6). В обычных условиях поверхности уровня представляют собой горизонтальные плоскости.

2.3. Давление жидкости на плоскую наклонную стенку

Пусть мы имеем резервуар с наклонной правой стенкой, заполненный жидкостью с удельным весом γ. Ширина стенки в направлении, перпендикулярном плоскости чертежа (от читателя), равна b (рис.2.3). Стенка условно показана развернутой относительно оси АВ и заштрихована на рисунке. Построим график изменения избыточного гидростатического давления на стенку АВ.

Так как избыточное гидростатическое давление изменяется по линейному закон P=γgh, то для построения графика, называемого эпюрой давления, достаточно найти давление в двух точках, например А и B.

Рис. 2.3. Схема к определению равнодействующей гидростатического давления на плоскую поверхность

Избыточное гидростатическое давление в точке А будет равно

PA = γh = γ·0 = 0

Соответственно давление в точке В:

PB = γh = γH

где H - глубина жидкости в резервуаре.

Согласно первому свойству гидростатического давления, оно всегда направлено по нормали к ограждающей поверхности. Следовательно, гидростатическое давление в