Закон всемирного тяготения Ньютона
Две материальные точки с массами и, находящиеся на расстояниидруг от друга притягиваются друг к другу с силой
,
где -гравитационная постоянная.
В общем случае двух тел произвольной формы можно мысленно разбить их на малые элемен-ты и просуммировать силы взаимодействия между ними:
.
Таким образом можно, например, показать, что сила гравитационного взаимодействия между двумя однородными шарами с массами ,и расстоянием между центрамиравна
.
Из закона всемирного тяготения следует, что любая материальная точка создает вокруг себя силовое (гравитационное) поле, действующее на другие материальные точки. Оно относится к классу так называемых центральных полей, для которых сила может быть представлена в виде:
,
где - радиус-вектор, проведенный из точки, называемой центром силового поля, в данную точку.
Рассмотрим одно важное свойство движения в центральном поле. Для момента количества движения материальной точки в этом случае имеем:
, или .
Таким образом, при движении материальной точки в гравитационном поле, создаваемом другой материальной точкой, сохраняется момент количества движения .
Отсюда следует, что траектория движения материальной точки в центральном поле целиком лежит в плоскости перпендикулярной вектору (плоская кривая, рис. 3). Такими кривыми являются траектории движения планет вокруг Солнца и траектории искус-ственных спутников Земли.
Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле.
Проекция силы потенциального поля на направление связана с потенциальной энергией соотношением (лекция 5)
.
Выберем в качестве направление радиуса-вектораот материальной точкик мате-риальной точке. Тогда
.
Отсюда, полагая , получим
.
На основании анализа наблюдений положения планет, проведенных Тихо Браге, Кеплер сформулировал законы их движения.
Законы Кеплера.
1. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает равные площади.
3. Квадраты времен обращений планет относятся как кубы больших осей эллиптических орбит, по которым они движутся вокруг Солнца.
Законы Кеплера можно получить с помощью 2-го закона Ньютона и закона всемирного тяготения.
1-ый закон Кеплера.
Т
, .
При движении планеты вокруг Солнца сохраняются ее полная энергия и проекция момента количества движения на ось . В полярных координатах эти законы сохранения имеют вид:
,
.
Здесь точками обозначены производные по времени, - масса планеты, - масса Солнца. Интегрируя эти уравнения можно показать, что при траектория является эллипсом, то есть выполняется 1-ый закон Кеплера. При траектория представляет собой гиперболу, а при - параболу.
Вообще существует два вида движения в гравитационном поле. При инфинитном движении материальная точка может удалиться сколь угодно далеко от ее начального положения. В случае финитного движения траектория не может выйти за пределы некоторой ограни-ченной области пространства. При траектория всегда будет финитной, так как при полная энергия , что противоречит исходному предположению. При является инфинитной.
2 – ой закон Кеплера.
Этот закон является следствием сохранения момента импульса, так как площадь описы-ваемая радиусом-вектором планеты в единицу времени
.
3 – ий закон Кеплера.
Его легко получить для частного случая движения по окружности:
.
Космические скорости.
1-ая космическая скорость – скорость тела, движущегося вблизи поверхности Земли по финитной траектории:
.
2-ая космичская скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося под действием ее поля тяготения по инфинитной траектории:
.
3 – я космическая скорость – скорость тела вблизи поверхности Земли, движущегося по траектории инфинитной по отношению к Солнцу. В зависимости от положения Земли она варьируется в интервале примерно от до.
ЛЕКЦИЯ 24
Упругие свойства жидкостей и газов.
Г
.
Здесь - сила, действующая со стороны окружающей жидкости на малую площадку. Давление является скалярной величиной, так как оно не зависит от ориентации этой площадки.
Жидкости малосжимаемы. Поэтому для описания многих явле-ний часто используется модель абсолютно несжимаемой жидкости. При движении жидкости в ней могут возникать силы вязкого трения. Идеальная жидкость – при любых движениях силами вязкости можно пренебречь.
Законы гидростатики.
1. Закон Паскаля.
Если нет внешних объемных сил, то в равновесии давление жидкости постоянно во всем объеме.
2. Давление жидкости, находящейся в равновесии в поле тяжести.
Из условия равновесия мысленно выделенного вертикального цилиндра внутри жидкости с плотностью легко получить
.
3. Закон Архимеда.
На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости (сила Архимеда).
С
н
Рассмотрим общие условия равновесия при наличии объемных сил. Пусть на элемент жидкости с объемом действует внешняя сила. Величинаназываетсяплотностью объемных сил. Например, для жидкости с плотностью , находящейся в поле тяжести,. Выделим элемент жидкости в виде малого цилиндра, ось которого направлена вдоль оси, с площадью основанияи высотой. Тогда проекция на осьсил давления , дейст-вующих на цилиндр равна
.
Аналогичные выражения можно получить для проекций сил давления на оси и. Следовательно, полная сила разности давлений, действующая на элемент, может представлена в виде
, .
В состоянии равновесия (- внешняя объемная сила). Отсюда получаем
.
Это уравнение называется основным уравнением гидростатики.
П
Будем считать, что жидкость вращается вместе с сосудом. На элемент жидкости с объемом действуют сила тяжестии центробежная сила. Тогда полная объем-ная сила
.
Из уравнения гидростатики получаем
, ,.
При , отсюда получаем уравнение поверхности вращающейся жидкости(параболоид вращения).
ЛЕКЦИЯ 25
Стационарное течение жидкостей и газов.
Существует два основных метода описания течения жидкостей и газов (далее будем гово-рить только о жидкостях). Это метод Лагранжа, в котором задаются координаты и скорости каждой частицы жидкости, и метод Эйлера, в котором исследуется зависимость от коорди-нат и времени скорости потока жидкости . Мы будем вести рассмотрение в рамках метода Эйлера. Определим несколько важных понятий в таком описании.
Л
Трубка тока – часть жидкости, ограниченная линиями тока. Такое определение означает, что частицы жидкости никогда не пересекают стенок трубки тока.
Стационарное течение – скорость жидкости не зависит от времени в каждой точке пространства.
Р
, или .
Э
.
Изменение за время энергии объема жидкости, заключенного в начальный момент междуи, равно разности энергий малых объемов
Это изменение равно работе сил давления
.
Приравнивая друг другу два последних выражения, получаем
.
В пределе при ,объемыстягиваются в точки, а трубка тока переходит в линию тока. Таком образом на заданной линии тока выполняетсяуравнение Бернулли
Течение вязкой жидкости.
П
.
Коэффициент в этой формуле зависит только от свойств жидкости и называетсякоэффи-циентом вязкости. Его размерность в СИ , а в СГС - 1 Пуаз. В приближении идеальной жидкости мы полагаем .
Из опыта следует, что вблизи пластины скорость жидкости близка к . Она спадает с глубиной по линейному закону, обращаясь в нуль на дне сосуда. Если направить осьвверх, а начало координат поместить на дне сосуда, то распределение проекции скорости на осьможно представить в виде (рис. 4):
.
В общем случае, при изменении скорости потока вдоль направления , проекция на осьсилы вязкого трения, действующей между слоями с площадьюможет выражена как
.
З
В качестве примера использования закона вязкого трения Ньютона рассмотрим течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе длины и радиуса. Из условия несжимаемости следует, что скорость жидкости не меняется в направлении движения. Однако, она может изменяться по радиусу трубы. Выделим мысленно тонкий цилиндрический объем жидкости радиусаи высоты, ось которого совпадает с осью трубы (рис. 5). На боковую поверхность выделенного цилиндра действует сила вязкого трения
,
а на его основания – сила разности давлений
.
При стационарном течении . Отсюда получаем
.
Последнее равенство вытекает из независимости от. Здесь,- давления на левом и правом концах трубы соответственно (). Производя интегрирование с учетом граничного условия, получим
.
Из этого выражения видно, что на оси трубы скорость достигает максимального значения
и спадает по квадратичному закону до нуля при удалении от оси. Введем еще одно важное понятие.
Расход жидкости – количество жидкости, протекающее за единицу времени через поперечное сечение трубы.
С помощью выражения для и суммирования потоков по тонким кольцевым сечениям радиусаи шириныприходим кформуле Пуазейля
.
ЛЕКЦИЯ 26
Ламинарное и турбулентное течения. Движение тел в жидкостях и газах.
Ламинарное течение – течение жидкости, в котором можно указать точное значение скорости в данной точке в данный момент времени (можно построить линии тока).
Турбулентное течение – течение жидкости, в котором скорость в данной точке изменяется со временем беспорядочным образом (нельзя построить линии тока).
Так же, как и в предыдущей лекции, будем считать, что все сказанное о свойствах жидкости относится и к газу.
Рейнольдс экспериментально установил, что переход от ламинарного течения к турбулент-ному определяется значением безразмерной величины
,
называемой числом Рейнольдса. Здесь ,- плотность и скорость жидкости соответст-венно,- характерный поперечный размер потока,- коэффициент вязкости жидкости. Существует некоторое критическое значение числа Рейнольдса. Притечение является ламинарным, а при- турбулентным.
Понятие числа Рейнольдса связано с так называемым методом подобия, играющем важную роль в гидродинамике. Оказывается, что совершенно различные по своим параметрам потоки, обладающие одинаковым числом Рейнольдса, не только имеют одинаковый тип течения, но обладают и другими одинаковыми свойствами. Это обстоятельство, например, позволяет по результатам обдува в аэродинамической трубе макета самолета малых размеров получать информацию о технических параметрах реального самолета.
Р
Движение тел в жидкостях и газах.
Рассмотрим равномерное движение шара радиуса в жидкости со скоростью. Применим метод подобия и связанный с нимметод размерностей. Он состоит в следующем. Из пара-метров нужно составить величину размерности силы, зависящую от числа Рей-нольдса. Ее можно представить в виде
.
Для нахождения конкретного вида функции необходимо использовать дополнитель-ную информацию. Из опыта известно, что при малых скоростях. Это дает
, .
Более точный расчет дает значение (формула Стокса). Теперь мы можем строго определить, что понимается в этом случае под малой скоростью. Ее можно считать малой, если .
При можно пренебречь вязкостьюи зависимостью от числа Рейнольдса. Тогда выражение для силы сопротивления принимает вид
.
Эксперимент показывает, что при больших скоростях движения тел в жидкостях и газах такая зависимость действительно имеет место.
Силы, действующие на крыло самолета.
При обтекании крыла потоком воздуха давление над крылом меньше, чем под ним. В результате возникает подъемная сила крыла самолета (рис. 2). Турбулентный след позади крыла приводит к силе лобового сопротивления. Сумма этих сил создает равнодействующую силу. Уголмежду плоскостью крыла и горизонтом называетсяуглом атаки. Сначала, при увеличении угла атаки давление под крылом понижается и подъемная сила возрастает. При достижении критического угла атаки подъемная сила начинает падать. При этом в завихрен-ном пространстве над крылом давление ниже, чем в набегающем потоке, но выше, чем в случае полного обтекания крыла.
Жуковским и Чаплыгиным была построена теория обтекания крыла самолета на основе модели идеальной жидкости, в которой силы вязкости влияют лишь на создание кругового движения воздуха вокруг крыла. Такое движение было названо циркуляцией.
Рассмотрим важный частный случай.
Обтекание вращающегося цилиндра.
П
Теория Жуковского и Чаплыгина позволяет вычислить подъемную силу крыла самолета без учета сил вязкого трения. В ней сначала находится распределение скоростей вокруг крыла с учетом циркуляции воздуха подобно эффекту Магнуса. Затем по этому распределению с помощью уравнения Бернулли вычисляется подъемная сила. Циркуляция вокруг крыла действительно существует. Ее возникновение объясняется законом сохранения момента импульса (рис. 4). При отрыве вихря в задней части крыла образуется циркуляция вокруг крыла в противоположном направлении. Если считать, что до отрыва вихря полный момент импульса равнялся нулю, то должно выполняться равенство
.
Процесс образования вихрей и возникновения циркуляции периодически повторяется. В результате создается постоянно действующая подъемная сила крыла самолета.