Вращение материальной точки по окружности

У

гловая скорость: .

Равномерное вращение по окружности:

Угловое ускорение: .

Линейная скорость вращательного движения

, , .

Связь меду угловым и линейным ускорениями

, .

Общий случай криволинейного движения

В

екторбесконечно малого перемещения совпадает с касательной к траектории в данной точке.

Скорость криволинейного движения

,

, ,

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории в данной точке траектории.

Ускорение криволинейного движения

;

.

Тангенциальное и нормальное ускорения

Т

ангенциальное ускорение направлено вдоль вектора скорости . Нормальное ускорение перендикулярно.

Связь между , и :

, , ,

- радиус кривизны траектории в данной точке (радиус окруж-ности, наиболее близкой к малому элементу траектории вблизи этой точки).

Равноускоренное криволинейное движение ()

, . Здесь , (начальные условия).

Кинематика твердого тела

Твердое тело – совокупность материальных, расстояния между которыми не изменяются.

Число степеней свободы тела – наименьшее число величин, необходимых для задания поло-жения тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы. В общем случае твердое тело обладает шестью степенями свободы. Можно, например, задать три координа-ты произвольной точки тела и три угла относительно трех взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку.

П

оступательное движение твердого тела – все точки тела движутся по одинаковым траекториям.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вектор угловой скорости. Направление определяется правилом правого винта в зависимости от направления вращения (см. рис. 4). Модульсовпадает с модулем.

Сложное (составное) движение

Пример. Движение точки на ободе катящегося колеса.

Полная скорость: , - скорость оси колеса, - скорость вращения относительно оси (формула сложения скоростей).

П

ри отсутствии скольжения . Тогда в т. В . Значит во всех точках . Траектория точки в неподвижной системе – циклоида (см. рис. 5).

ЛЕКЦИЯ 3

Законы динамики Ньютона.

Динамика изучает движение тела под действием других тел.

Первый закон Ньютона

Всякое тело, не подверженное внешним воздействиям, либо находится в покое, либо движется равномерно и прямолинейно.

Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона называются инерциальными.

Инертность тел – свойство тел сохранять состояние покоя или равномерного и прямоли-нейного движения.

Масса – количественная мера инертности тел.

Сила – величина, являющаяся мерой внешнего воздействия на данное тело со стороны других тел. Сила – векторная величина.

Принцип суперпозиции (сложения) сил (следует из опыта)

.

Второй закон Ньютона

Произведение массы тела на его ускорение равно действующей на него силе

.

В общем случае второй закон Ньютона можно представить в виде

,

или в проекциях на оси координат в виде системы трех дифференциальных уравнений второго порядка

, ,.

Единицы измерения механических величин

СИ: = 1 м, = 1 кг, = 1 сек,= 1 м/сек² , = 1 кг·м/сек² = 1 Ньютон.

СГС: = 1 см, = 1 г, = 1 сек,= 1 см/сек² , = 1 г·см/сек² = 1 дина.

Третий закон Ньютона

Силы взаимодействия двух тел равны по величине и противоположны по направлению

.

Виды сил в механике

1. Дальнодействующие силы:

сила тяготения, электромагнитные силы, ядерные силы.

2. Близкодействующие силы:

1) сила упругой деформации (закон Гука)

, - коэффициент жесткости.

2) сила давления и сила нормальной реакции

(по третьему закону Ньютона)

Сила нормальной реакции всегда перпен-

дикулярна поверхности, с которой соприкасается

тело. Вес тела .

3) сила трения покоя и сила трения скольжения

, ,

- коэффициент трения.

4) сила натяжения нити; если масса нити мала по

сравнению с массой тел, то сила натяжения нити

на ее концах одинакова.

ЛЕКЦИЯ 4

Закон сохранения импульса. Движение тела с переменной массой.

Импульс (количество движения): .

Второй закон (в формулировке самого Ньютона):

.

1. Закон сохранения импульса для двух взаимодействующих тел (см. рис. 1 лекции 3)

, . По третьему закону Ньютона . Отсюда

, . Значит полный импульс двух взаимодействующих тел

сохраняется:

.

2. Закон сохранения импульса для замкнутой системы из взаимодействующих

материальных точек

Замкнутая система – на каждую из материальных точек действуют лишь силы со стороны

других точек, входящих в систему (нет внешних сил).

Уравнения второго закона Ньютона для точек:

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . ,

.

Складывая эти уравнения и группируя слагаемые в правой части, получаем

(по третьему закону Ньютона).

Значит полный импульс системы сохраняется: , .

3. Изменение полного импульса незамкнутой системы

В этом случае на каждую материальную точку действует внешняя сила . Проводя

аналогичное суммирование, получаем

, . (1)

Введем понятие центра масс системы материальных точек

, где - полная масса системы,- радиус-вектор-ой точки.

Тогда уравнение (1) можно записать в виде

.

4. Импульс силы. Движение тела с переменной массой.

Удобно использовать еще одну форму записи второго закона Ньютона

. (2)

Величина называетсяимпульсом силы.

Рассмотрим реактивное движение ракеты с учетом изменения ее массы из-за сгорания топлива. На рис. 1 представлены величины для ракеты и продуктов сгорания (индекс “г”) в момент времени . Пусть в момент масса ракеты равна , а скорость . В момент скорость ракеты равна , а масса - .

Тогда уравнение (2) для ракеты можно представить в виде:

.

Отсюда, с точностью до величин первого порядка малости, получим

. (3)

Уравнение (2) для продуктов сгорания:

, (4)

где - скорость продуктов сгорания относительно ракеты. Так как , то из уравнений (3), (4) следует, что

или .

Последнее уравнение называется уравнением Мещерского. В проекции на направление движения ракеты получим

или .

После интегрирования приходим к формуле Циолковского

. (5)

Эта формула сыграла очень важную роль в истории космонавтики. Она позволяет оценить количество топлива необходимого для космических полетов. Можно, например, провести такую оценку для полета за пределы солнечной системы. Минимальное значение скорости, которую должна в этом случае развить ракета равно (третья космическая скорость). Современное химическое топливо дает значение . Тогда из формулы (5) получим

.

Для полета туда и обратно необходимо значение . Однако, скорости недостаточно для полета к другим звездам за разумные промежутки времени. От ближайшей к нам звезды α-Центавра свет доходит до Земли за 4 года. Следовательно, ракета должна развивать скорость сравнимую со скоростью света. С учетом прогресса в области разработки новых видов топлива возьмем завышенное значение . Тогда при получим

.

Нереальность такой величины очевидна по той причине, что масса всей нашей Галактики составляет ≈ 10⁴¹ кг. Один из гипотетических вариантов осуществления межзвездных полетов предполагает использование фотонных ракетных двигателей со значением . Однако, до практической реализации таких идей еще далеко.

ЛЕКЦИЯ 5

Работа и энергия. Закон сохранения энергии.

Работа силы на пути:

, - проекцияна,

при ,при,

при .

Скалярное произведение векторов и: , - угол между векторами.

Скалярное произведение можно выразить через проекции: .

Тогда элементарную работу можно записать в виде:

.

Работа силы на конечном пути

Разбивая траекторию движения материальной точки на последовательность малых переме-щений , можно представить работу силы на конечном пути от точки 1 до точки 2 в виде:

или в пределе при .

Мощность: (работа в единицу времени). Часто бывает удобно выражать работу через силу и скорость:

или .

Силовое поле – совокупность всех сил, действующих на данную материальную точку в любой точке пространства.

Потенциальное силовое поле – работа сил в таком поле при перемещении материальной точки не зависит от формы пути. Примеры: гравитационное поле, электростатическое поле.

Консервативные силы – силы, действующие в потенциальном силовом поле.

Неконсервативные силы – работа зависит от формы пути (например, сила трения).

Работа консервативных сил при перемещении материаль-ной точки по замкнутому контуру равна нулю. Для консер-вативных сил (см. рис. 2), следовательно,

.

Потенциальная энергия U – функция, изменение которой при перемещении материальной точки равно работе консервативной силы , взятой с обратным знаком

. (1)

Из этого определения видно, что потенциальная энергия определена с точностью до произ-вольной константы. Например, в выражении для потенциальной энергии тела в поле тяжести вблизи поверхности Земли по этой причине высотуможно отсчитывать от любого уровня. При вычислении работы по формуле (1) произвольная константа сокращает-ся. Для того чтобы вычислять значение самой потенциальной энергии удобно зафиксировать значение соответствующей константы. Это можно сделать по разному. Например, в электро-статике потенциал поля точечного заряда на бесконечности считается равным нулю. Можно, задать равным нулю значениев начале координат. Тогда определение потенциальной энергии можно сформулировать следующим образом.

П

отенциальная энергия равна работе сил потенциального поля при перемещении материальной точки из начала координат в данную точку, взятой с обратным знаком.

Тогда

, ,,

, значит

. (2)

Рассмотрим бесконечно малое перемещение между двумя близкими точкамии.

, .

Тогда . (3)

- производная по направлению (градиент ).

Для проекций имеем:

, , .

В качестве примера использования этих формул вычислим потенциальную энергию материальной точки под действием упругой силы. По закону Гука . Отсюда.

Кинетическая энергия материальной точки

Рассмотрим движение материальной точки под действием произвольной силы . По второму закону Ньютона

. Тогда или .

Величина называется кинетической энергией тела. Значит

,

то есть работа силы равна изменению кинетической энергии тела. Для консервативной силы

.

Величина называется полной энергией материальной точки. Тогда в потенци-альном поле имеет место закон сохранения энергии

или .

Закон сохранения энергии выполняется и для замкнутой системы материальных точек:

,

где - кинетическая энергия-ой точки, - потенциальная энергия взаимо-действия материальных точек системы.

Изменение энергии под действием неконсервативных сил

Рассмотрим движение материальной точки под действием двух сил: консервативной силы и неконсервативной силы . Тогда работа суммарной силы . Для консервативной силы . Значит . Для работы на конечном пути получим

.

Таким образом, работа неконсервативной силы равна изменению полной энергии материаль-ной точки.

Единицы измерения работы энергии и мощности

СИ: = 1 Нּм = 1 Джоуль, = 1 Джоуль/сек = 1 Ватт.

СГС: = 1динаּсм = 1 эрг, 1 Джоуль = 10⁷ эрг, = 1 эрг/сек.

ЛЕКЦИЯ 6

Упругие и неупругие столкновения.

Рассмотрим столкновение двух шаров, скорости которых направлены вдоль линии, соеди-няющей их центры (центральный удар). Будем считать систему шаров замкнутой и полную энергию шаров до и после удара одинаковой. Такой удар называется абсолютно упругим. Запишем закон сохранения импульса в проекции на ось , проходящую через центры шаров, и закон сохранения энергии:

,

.

Считая проекции скоростей до удара заданными, из этой системы уравнений находим проекции скоростей шаровпосле удара

, .

Рассмотрим различные частные случаи.

1. Массы шаров одинаковы: . В этом случае,, то есть шары обмениваются скоростями.

2. Второй шар покоился до удара: . Тогда,. Приишары после удара движутся в одну сторону: . При более легкий шар отражается в противоположном направлении, то есть. При (отражение от неподвижной стенки).

Перейдем к рассмотрению неупругих ударов. В этом случае часть кинетической энергии шаров переходит в тепловую энергию :

.

Если величина неизвестна, то решить задачу о столкновении в общем случае невоз-можно. Однако, есть один очень важный частный случай, когда задача решается до конца.Абсолютно упругий удар – тела после удара движутся с одинаковой скоростью (“слипаются”).

В этом случае закон сохранения импульса принимает вид:

. Отсюда .

Из закона сохранения полной энергии с учетом количества тепла находим

.

Удобно записать это выражение в следующем виде:

, где -приведенная масса , - относительная скорость

сталкивающихся тел.

Нецентральный удар

Р

азложим скорости шаров в момент столкновения на нормальную и тангенциальную составляющие по отношению к плоскости касания шаров. В этом случае законы сохранения импульса и энергии для абсолютно упругого удара можно представить в следующем виде

,

,

.

Итак, имеем три уравнения для четырех неизвестных. Поэтому задача не имеет однознач-ного решения. Такое решение существует в случае идеально гладких шаров (нет сил тре-ния), когда . При этом одно уравнение исключается и остается две неизвестные величины.

Описание столкновений в системе центра масс

Центр масс двух сталкивающихся тел движется со скоростью

.

Если система тел является замкнутой, то . Систему отсчета, в которой заданы скоростибудем называтьлабораторной системой отсчета. В ней мы рассматриваем процесс столкновения тел. Оказывается, что более удобно с вычислительной точки зрения изучать такой процесс в системе центра масс двух тел, движущейся со скоростью . Будем обозначать величины в системе центра масс индексом “0”. В силу того, что центр масс в такой системе неподвижен, для импульсов до и после столкновения имеют место соотношения

, .

Тогда с помощью закона сохранения энергии

легко получить, что

, .

Э

то означает, что в системе центра масс импульсы тел до столкновения и после столкновения противоположно направлены и имеют одинаковую абсолютную величину (см. рис. 2). В результате взаимодействия тел происходит поворот импульсов в системе центра масс на некоторый угол. Значение этого угла можно найти только если известны силы взаимодействия между телами. Рассмотрим важный частный случай, когда второе тело в лабораторной системе покоится до столкновения. Тогда

, ,,.

Эти соотношения приводят к удобному графическому приему, представленному на рис. 3. Пусть . Тогда. Уголмежду вектором скорости налетающей частицыдо столкновения и вектором скоростипосле столкновения называетсяуглом рассеяния. Рассмотренный случай столкновения соответствует, в частности, опытам Резерфорда по рассеянию - частиц на тяжелых ядрах. Эти опыты привели в дальнейшем к созданию атомной физики. В случае, когда(налетающая частица тяжелее покоящегося),и точкабудет лежать вне окружности. При этом угол рассеяния будет ограничен некоторым значениемдля которого отрезокявляется касательной к окружности и. Отсюда легко получить

.

Система центра масс обычно используется для расчета движения двух взаимодействующих тел (задача двух тел).

ЛЕКЦИЯ 7

Момент количества движения. Момент инерции твердого тела.

Мы рассмотрели два закона сохранения в механике: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Каждый из законов сохранения в физике является следствием соответ-ствующего типа симметрии. Так закон сохранения импульса вытекает из однородности пространства, а закон сохранения энергии из однородности времени. Изотропность прост-ранства приводит к сохранению третьей важнейшей физической величины – момента импульса, или момента количества движения.

Момент количества движения материальной точки

Модуль момента количества движения определяется как (см. рис. 1)

.

Направление вектора определяется по следующему правилу. Вектор перпендику-лярен плоскости, в которой лежат вектора и . При этом, если вращать вектор по направлению к вектору , то направление совпадает с движением правого винта при таком вращении (см. рис. 2).

Такое действие над векторами и в векторной алгебре называется векторным произве-дением вектора на вектор и обозначается следующим образом

.

Отметим, что в соответствии с таким правилом в векторном произведении важен порядок сомножителей. При перестановке сомножителей меняется знак векторного произведения

.

Для вектора момента импульса можно получить уравнение аналогичное уравнению второго закона Ньютона для импульса. Вычислим для этого производную по времени от :

.

Слагаемое равно нулю по определению векторного произведения. Последнее слага-емое в правой части называетсямоментом силы и обозначается

.

Таким образом, уравнение, описывающее изменение момента импульса со временем имеет вид:

.

Оно очень похоже на уравнение второго закона Ньютона: вместо импульса стоит момент импульса, а вместо силы – момент силы.

Для системы материальных точек

, где - полный момент импульса системы.

Замкнутая система материальных точек

Р

ассмотрим две точки с номерами. По третьему закону Ньютона. Тогда

,

и (см. рис. 3).

Величина называется плечом силы относительно т. О. Отсюда следует, что,,.

Таким образом, имеет место следующий закон.

Закон сохранения момента количества движения

Полный момент количества движения замкнутой системы материальных точек остается постоянным.

Момент количества движения твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси.

Мысленно разобьем твердое тело на малые элементы, которые можно считать материаль-ными точками. Момент количества движения i – го элемента

.

Н

аправим ось вдоль оси вращения и представим вектор в виде суммы векторови, направленных соответствен-но параллельно и перпендикулярно к оси вращения (см. рис. 4).

Тогда

.

Так как каждый элемент вращается по окружности с угловой скоростью , то. Следовательно, проекция полного момента импульса на ось вращения

.

Величина приназываетсямоментом инерции тела относительно заданной оси. Она описывает инерционные свойства вещества во вращательном движении тела. Через момент инерции выражается также кинетическая энергия вращательного движения:

или .

Вычисление момента инерции в общем случае сводится к вычислению объемного интеграла:

или .

Производя соответствующее интегрирование можно найти моменты инерции тел различной формы относительно заданных осей. Приведем значения моментов инерции простейших однородных тел.

1. Полый тонкостенный цилиндр с массой и радиусом. Ось совпадает с осью симметрии.

2. Сплошной цилиндр с той же осью. .

3. Сплошной шар с той же осью .

4. Тонкий стержень длины . Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец..

Теорема Штейнера

Пусть момент инерции тела массы относительно оси, проходящей через центр масс равен. Тогда его момент инерции относительно любой оси параллельной оси, проходящей через центр масс и отстоящей от нее на расстоянииравен

.

ЛЕКЦИЯ 8

Основной закон вращательного движения твердого тела.

Снова мысленно разобьем тело на малые элементы , которые можно считать материальными точками. Тогда для полного момента импульсаи полного момента силимеем (см. лекцию 7):

. (1)

Это уравнение называется основным законом вращательного движения в общем случае. При этом ось вращения может менять свое положение в пространстве и внутри тела.

Вращательное движение твердого тела вокруг фиксированной оси

Рассмотрим очень важный частный случай вращения твердого под действием внешних сил вокруг фиксированной оси. Направим ось системы координат вдоль этой оси. Разложим радиус-вектор- го элементана векторыи, параллельный и перпендикулярный к оси вращения. Аналогичное разложение проведем для силы, действующей на- й элемент. Тогда момент импульса этого элемента можно представить в виде

,

где ,.

Для осесимметричного тела и при вычислении полного момента импульса останется только проекция на ось вращения:

.

Проекция на ось момента силы, действующей на- й элемент , очевидно, выражается только черези:

,

где - угол между векторами,- плечо силыотносительно оси.

Проекция полного момента силы на ось

.

В проекции на ось уравнение (1) имеет вид:

, где . Его можно переписать через угловое ускорение

Это основной закон вращательного движения для случая фиксированной оси.

П

ример.Рассмотрим следующую задачу. Сплошной цилиндр радиуса и массыможет вращаться вокруг оси, совпадающей с его осью симметрии. На цилиндр намотана невесомая нерастяжимая нить, к концу которой прикреплено тело массы. Нужно найти ускорение этого тела.

Для решения этой задачи запишем 2 – й закон Ньютона для тела в проекции на направление его движения и основной закон вращатель-ного движения для цилиндра:

, - сила натяжения нити,

.

Кроме этого используем связь между и: (лекция 2).

Решая эту систему уравнений и подставляя , находим.

Суммарный момент сил, действующих на тело в поле тяжести

Н

а элемент действует момент силы тяжести

(ось направлена на нас)

.

Тогда проекция полного момента силы тяжести

, - полная масса

тела, - координатацентра масс

тела. Значит при вычислении момента сил тяжести можно считать, что сила приложена к центру масс тела (центр тяжести).

ЛЕКЦИЯ 9

Общий случай вращательного движения твердого тела. Гироскопические явления.

Р

ассмотрим движение плоского твердого тела в его собственной плоскости. Выберем в нем две произвольные точкии. Так как тело является твердым, то при его движении

.

Продифференцируем это соотношение по времени

.

Пусть в данный момент времени . Тогда для всех точекимеем. Это означает, что скорости перпендикулярны соответствующим радиусам. Следовательно, можно говорить о вращении в данный момент времени вокруг оси, проходящей через точку.

Мгновенная ось вращения - прямая, проходящая через точки тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Например, для цилиндра, катящегося по плоскости, мгновенная ось вращения проходит через точки соприкосновения цилиндра с плоскостью (лекция 2).

Имеет место важная теорема, относящаяся к движению тела с одной неподвижной точкой. Мы приведем ее без доказательства.

Теорема Эйлера

Твердое тело, имеющее одну неподвижную точку, может быть переведено из произвольного положения в другое произвольное положение путем поворота вокруг некоторой оси, прохо-дящей через эту точку.

Произвольное движение твердого тела.

Его можно представить как совокупность поступательного движения всего тела со ско-ростью его некоторой точки(основная точка) и вращательного с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через эту точку. При этом угловая скоростьне зависит от выбора основной точки.

Выберем в качестве основной точки центр масс тела. Пусть - скорость вращательного движения- го элемента тела относительно мгновенной оси. Тогда полную кинетическую энергию тела можно представить в виде

.

Последнее слагаемое в правой части равенства при суммировании дает нуль, так как ось проходит через центр масс. Тогда приходим к выражению (теорема Кёнига)

.

Получим одно важное соотношение между энергией вращательного движения и моментом импульса тела. Оно понадобится нам в дальнейшем. Можно легко убедиться в том, что скорость вращенияи угловая скоростьсвязаны соотношением. Тогда

.

Последнее из равенств доказывается в векторной алгебре. В этом случае для получим

.

В частном случае вращения осесимметричного тела вокруг его оси и.

Гироскоп – быстровращающееся осесимметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве.

Движение гироскопа описывается основным законом вращательного движения в общем виде

.

П

ри этом ось вращения и момент импульса не обяза-тельно совпадают с осью гироскопа. Рассмотрим движение гироскопа с одной неподвижной точкой (т. О на рис. 2). Тогда по теореме Эйлера в каждый момент времени происходит вращение вокруг мгновенной оси проходящей через т. О. Разложим векторана составляющие вдоль оси гироскопа и перпендикуляр-ные к оси гироскопа (см. рис. 2). Физический смысл суммы векторовсостоит в том, что при этом тело вращается вокруг собственной оси с угловой скоростью, а сама эта ось вращается вокруг оси перпендикулярной к собственной со скоростью.

Момент импульса гироскопа можно представить в виде

,

где - моменты инерции гироскопа относительно соответствующих осей. Тогда

.

Свободный гироскоп ().

В этом случае выполняются законы сохранения момента импульса и энергии

,

.

Отсюда следует, что при движении свободного гироскопа значения остаются постоянными. Это означает, что имеет место так называемаясвободная регулярная прецессия: в каждый момент времени движение свободного гироскопа есть вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку опоры; направление вектора неизменно в пространстве, а ось гироскопа и мгновенная ось вращения вращаются вокругс постоянной угловой скоростью.

Вынужденная прецессия гироскопа

При кратковременном воздействии на гироскоп мало по сравнению св силу большой угловой скорости вращения вокруг собственной оси. То есть имеет место устойчи-вость движения свободного гироскопа. Это находит применение в многочисленных приложениях (автопилоты, гирокомпасы, движение мотоциклов и велосипедов и т. д.).

Совсем по-другому ведет себя несвободный гироскоп, находящийся под действием постоян-ной силы.

Рассмотрим движение гироскопа с одной неподвижной точкой в поле тяжести (рис. 3).

Будем считать, что (приближенная теория гироскопа). В этом случае момент импульса гироскопа направлен вдоль его оси и равен . Основной закон вращательного движения имеет вид:

. С другой стороны можно считать, что

является “скоростью движения” конца вектора . Тогда по аналогии с формулойможно записать, что

. Отсюда или. Отсюда находим

.

Ось гироскопа в этом случае описывает конус, совершая вращение с угловой скоростью .

Такое движение называется вынужденной прецессией гироскопа под действием внешней силы. Гироскопические явления играют важную роль в самых разнообразных физических системах, от механических до атомных.

ЛЕКЦИЯ 10

Движение тел при наличии трения.

Существует два основных типа сил трения: сухое трение и вязкое трение.

1. Сухое (внешнее) трение.

Такое трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся тел.

1) Силы трения покоя и скольжения.

Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена внешней силе

.

Максимальное значение силы трения покоя равно силе трения скольжения и пропорционально силе нормальной реакции, действующей на тело

, .

Коэффициент называетсякоэффициентом трения. Он зависит от вещества и качества поверхностей тел. Силы трения покоя и скольжения обусловлены взаимодействием молекул, находящихся вблизи поверхности соприкосновения тел. Такое взаимодействие происходит в области малых участков соприкосновения. Участки взаимодействия, или “пятна” составляют порядка 10^-3 от полной площади соприкосновения. Их общая площадь пропорциональна силе давления или нормальной реакции. Поэтому сила трения скольжения пропорциональна и не зависит от площади соприкосновения тел.

Силы трения покоя и скольжения приводят к целому ряду практически важных явлений.