5.2.4 Способ свободной станции и вычисление площади по координатам

Результаты измерений, выполненных на свободной стан­ции с целью вычисления площади, могут быть обработаны и по иным формулам, отличающимся от приведенных выше. Примем для каждой съемочной точки свою систему плоских координат. Ось х направим из съемочной точки по начально­му направлению, а ось у перпендикулярно к ней вправо. При этом (см. рис. 5.5) координаты пикетов i = 1, 2, ... , n будут равны:

x_i = d_i cos N_i,

y_i = d_i sin N_i.

Площадь участка, снятого с данной станции, можно вы­числить по формулам (3.1) или (3.2).

Достоинством такого алгоритма является простота логи­ческой схемы программы и общность формул с формулами, применяемыми при решении других задач.

Задание 3: 1) На топографической карте отметить участок с криволинейными границами.

2) Определить площадь участка с помощью палеток (параллельной, прямоугольной и способом Савича).

3) Определить площадь участка тремя разными способами, выбрав наиболее оптимальные, из указанных в п. 5.2. Выполнить оценку точности определения площадей.

Описанные в п.5.2. способы определения площади участка, имеющего криволинейные границы, основаны на результатах измерений на местности.

При выполнении данной работы исходные данные для нахождения площади получают с топографической карты. Координаты и линейные элементы измеряют с помощью линейки поперечного масштаба и циркуля-измерителя, угловые – транспортира. Средние квадратические ошибки определения линейных элементов следует принять равными 1м (графическая точность М 1:10000), углов – 0,1°.

Если площадь участка определять способом измерений от пунктов сети методом полярной засечки, следует для вычисления площади использовать формулу (3.1) или (3.2). Для вычисления средней квадратической ошибки – формулу (3.4).

При использовании метода перпендикуляров, оценивается точность определения площадей частей участка, составляющих общую площадь. Средняя квадратическая ошибка определения площади вычисляется по формуле (4.9).

Аналогично выполняется оценка точности при определении площади участка способом свободной станции.

4) Представить, что данные для вычисления площади того или иного участка были получены в результате измерений на местности.

Среднюю квадратическую ошибку определения линейных составляющих принять равной 0,05м, углов – 0,5′.

Рассчитать среднюю квадратическую и относительную ошибки определения площади участков.

5) Сравнить ошибки определения площади, вычисленные по результатам измерений на карте и на местности. Сделать выводы.

6. Определение площадей земельных участков механическим способом

Определение площадей участков механическим способом осуществляется с помощью цифрового планиметра. Устройство и порядок измерения площадей данным способом можно найти в соответствующем методическом указании («Ознакомление с современными геодезическими приборами»).

Задание 4: Определить площади участков, отмеченных ранее на топографической карте (треугольника, четырехугольника, многоугольника и участка с криволинейными границами), с использованием планиметра.

7. Определение фактической площади земельных участков

В сельской местности площади землепользований и сельскохозяйственных угодий определяют по топографическим картам масштаба 1:10000 или 1:25000. Картами и планами масштабов 1:5000 и 1:2000 обеспечены городские территории, пригородные районы, месторождения полезных ископаемых. Топографические планы масштабов 1:500 и 1:1000 имеются на территории городов, расположения значительных инженерных сооружений и др.

Топографические карты масштабов 1:25000 и 1:10000 составлены в проекции Гаусса-Крюгера в пределах шестиградусных зон, а масштабов 1:5000 и 1:2000 – в той же проекции, но в пределах трехградусных зон.

В силу свойств проекции Гаусса-Крюгера длины линий и соответственно площади контуров на картах изображаются преувеличенными по сравнению с их значениями на эллипсоиде. Формула поправки ΔР за перевод площади с плоскости карты на поверхность эллипсоида приводится во многих источниках [например, 2, 3] и имеет вид:

(7.1)

где Р_Г – площадь, полученная по карте (геодезическая); у – средняя ордината участка (расстояние от осевого меридиана); R – радиус эллипсоида для данной широты (при вычислении поправки R принимают равным радиусу шара 6371,1 км).

Площадь на эллипсоиде

(7.2)

Поправка ΔР будет максимальной на краю зоны и уменьшается по мере приближения участков местности к осевому меридиану.

Для земельных участков, находящихся на значительном расстоянии (высоте) над по­верхностью эллипсоида, площадь оказыва­ется несколько уменьшенной, поэтому в нее вводят поправку за среднюю отметку участ­ка, выражаемую формулой:

(7.3)

где Р_Н – площадь с учетом поправки за ре­льеф; ΔР_Н = P_Э∙2H/R - поправка за переход с поверхности эллипсоида на поверхность средней отметки участка; Н – средняя аб­солютная отметка участка относительно поверхности эллипсоида.

Введение этой поправки не позволяет пе­рейти к фактической (физической) площа­ди земельного участка, характеризующего­ся разнообразными формами рельефа, таки­ми, как овраг, склон, котловина, Площадь с уче­том рельефа, или физическая площадь, все­гда будет больше, чем геодезическая с уче­том поправок. Для земельных участков с сильно пересеченным рельефом возникает необходимость определения физической площади (фактической), так как различие между геодезической с учетом поправок и физической площадями достигает значи­тельных величин (порядка 10 %).

Способ определения физической площади участка заключается в следую­щем. Для земельного участка или его секций определяют средние продольный и попереч­ный углы наклона по линиям, взаимно пер­пендикулярным и, где это возможно, парал­лельным осям абсцисс и ординат, а физичес­кую площадь вычисляют по формуле

(7.4)

или Р_Ф = Р_Н + ΔР_Ф,

(7.5)

где ΔР_Ф – поправка к площади за рельеф.

Формула вычисления фактической пло­щади земельного участка может быть преоб­разована к виду:

(7.6)

Средние продольные и поперечные углы наклона определяются по линиям, располо­женным перпендикулярно друг к другу. Углы наклона находятся по формуле:

(7.7)

где h – превышения, определенные по го­ризонталям карты (плана) для каждой ли­нии; d – горизонтальные проложения ли­ний, определенные по карте (плану).

Средние углы наклона находят по форму­лам

(7.8)

где Σ│v_пр│и Σ│v_поп│– сумма продольных и поперечных углов наклона; п – число углов (или линий).

Конкретно число линий, по которым оп­ределяются средние углы наклона, зависит от размеров участка и частоты сменяемости форм рельефа. Чем меньше участок, тем с большей точностью его поверхность будет аппроксимирована поверхностями, образо­ванными взаимно перпендикулярными ли­ниями со средними продольными и попереч­ными углами наклона, а следовательно, с большей точностью будет определена его физическая площадь. При значительных размерах участка его необходимо разбивать на секции с однородными продольными и по­перечными уклонами.

Для удобства практического примене­ния приведем формулу физической площа­ди к виду, в котором ее вычисляют через непосредственно измеренную на картах геодезическую площадь с учетом суммар­ных поправок, учитывающих переход на поверхности эллипсоида и средней отмет­ки участка, а также за влияние рельефа. Формула имеет вид:

(7.9)

Последний член формулы (7.9) даже при самых максимальных значениях Н и у со­ставляет 1:300 000. Тогда формулу (7.9) мож­но представить в виде:

(7.10)

Первый член формулы (7.10) содержит по­правку за переход от геодезической площади к фактической (поправку за рельеф), второй – за переход от геодезической площади к площади на эллип­соиде и третий – поправку за переход к по­верхности относимости на средней отметке участка.

Предложенный способ определения пло­щадей земельных участков применяется как для сельскохозяйственных, так и для город­ских территорий.

Задание 5: Рассчитать фактическую площадь каждого участка.

По результатам вычисления площадей земельных участков, оценки точности и вычисления фактической площади составляется сравнительная таблица (табл. 7.1).

Таблица 7.1

Сравнительная таблица

Способ измерений	Площадь (Р), м2	Средняя квадратическая ошибка, тр		Относительная ошибка,		Фактическая площадь участка, м2
		по измерениям на карте	по результатам измерений на местности	по измерениям на карте	по результатам измерений на местности
Форма – треугольник
По координатам вершин
По линейным и угловым измерениям
Механический
Форма – четырехугольник
По координатам вершин
По линейным и угловым измерениям
Механический
Форма – многоугольник
По координатам вершин
По линейным и угловым измерениям
Механический
Участок с криволинейными границами
Параллельная палетка
Прямоугольная палетка
Способ Савича
Определение площади способами п. 5.2
Механический