4. Определение и оценка точности площадей участков по линейным и угловым измерениям

4.1 Вычисление средней квадратической ошибки определения площади земельного участка в форме треугольника:

а) вычисленного по основанию и высоте (рис. 4.1)

. (4.1)

, (4.2)

е

Рис. 4.1 Треугольник

слиm_a = m_h, то .

б) вычисленного по двум сторонам и углу между ними (рис. 4.2)

. (4.3)

Рис. 4.2 Треугольник

, (4.4)

где значение средней квадратической погрешности определения угла m_β следует выразить в радианной мере, т.е. (ρ = 3438′=206280′′).

в) вычисленного по трем сторонам (формула Герона) (рис. 4.3)

, (4.5)

г

Рис. 4.3 Треугольник

де - полупериметр.

,(4.6) где А = (s – a)(s – b)(s – c), B = s(s – b)(s – c), C = s(s – a)(s – c), D = s(s – a)(s – b).

4.2 Вычисление средней квадратической ошибки определения площади земельного участка в форме четырехугольника (рис. 4.3)

. (4.7)

Рис. 4.3 Четырехугольник

(4.8)

4.3 Вычисление средней квадратической ошибки определения площади земельного участка в форме многоугольника (рис. 4.4)

Рис. 4.4 Многоугольник

При определении площади земельного участка в форме многоугольника его разбивают на более простые геометрические фигуры (обычно треугольники). Определяют по одной из формул площадь каждого треугольника Р₁, Р₂, …, Р_n, суммируют. Выполняют оценку точности каждого треугольника m_P1, m_P2, …, m_Pn, и находят среднюю квадратическую ошибку вычисления площади многоугольника по формуле: . (4.9)

Задание 2: 1) Определить площади ранее отмеченных земельных участков по линейным и угловым измерениям. Длины линий следует измерять с помощью линейки поперечного масштаба и циркуля-измерителя. Выполнить оценку точности вычисленных площадей (рассчитать среднюю квадратическую и относительную ошибки).

Средние квадратические ошибки определения линейных элементов следует принять равными 1м (графическая точность М 1:10000), углов – 0,1°.

2) Представить, что данные для вычисления площади того или иного участка были получены в результате измерений на местности.

Среднюю квадратическую ошибку определения линейных составляющих принять равной 0,05м, углов – 0,5′.

Рассчитать среднюю квадратическую и относительную ошибки определения площади участков.

3) Сравнить ошибки определения площади, вычисленные по результатам измерений на карте и на местности. Сделать выводы.

5. Определение площади участка с криволинейными границами

5.1 Измерение площадей палетками

Площади небольших участков с криволинейными граница­ми можно измерять с помощью палеток. Палетка для измере­ния площадей – лист прозрачного материала (восковки, лавса­на, пластика, кальки), на который нанесена сетка квадратов размером 2×2 мм или система равноотстоящих параллельных линий.

Наложив палетку с сеткой квадратов на план, подсчиты­вают число квадратов, уместившихся в измеряемой площади, оценивая дробные части квадратов на краях участка на глаз. Результат подсчета умножают на площадь одного квадрата.

Так, квадрату размером 2×2 мм на плане масштаба 1:1000 соответствует на местности квадрат 2×2 м, то есть площадь равная 4 м². Если подсчитанное число квадратиков равно 122,4, то площадь участка равна 122,4 · 4 м² = 490 м².

Д

Рис. 5.1 Палетка с параллельными линиями

ля измерения площади палеткой с параллельными линия­ми ее накладывают на план так, чтобы противоположные края участка расположились посредине между линиями палетки (рис. 5.1).

Отрезки линий палетки, ограниченные контуром участка, можно рассматривать как средние линии трапеций, заключенных на рисунке между пунктирными линиями. Из­мерив длины средних линий d₁, d₂, ..., d_n, площадь участка вычисляют по формуле (5.1):

P = h(d₁ + d₂ + … + d_n), (5.1)

где h - расстояние между линиями палетки (в масштабе).

Определение суммы отрезков d₁ + d₂ + … + d_n выполняют циркулем-измерителем. Взяв в раствор измерителя отрезок d₁, переносят измеритель на следующую линию, на продолжение отрезка d₂ и увеличивают раствор так, что в растворе будет набрана сумма d₁ + d₂. Продолжая, накапливают всю сумму расстояний и определяют ее значение по масштабной линейке.

Прямоугольная палетка построена в виде сетки квадратов. Определение площади прямоугольной палеткой выполняют по способу А.Н. Савича (рис.5.2).

Способ А. Н. Савича применяется при измерении на плане больших площадей. Часть Р₀ площади участка (рис. 5.2), состоящая из целых квадратов, образованных линиями координатной сетки, не требует измерения – она равна сумме известных площадей квадратов. Измеряют площади Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, расположенные на краях участка и составленные нецелыми частями квадратов. Вся измеряемая площадь равна

Р

Рис. 5.2 Измерение площади способом Савича

= Р₀ + Р₁ + Р₂ + Р₃+ Р₄. (5.2)

Измерение площадей Р₁, Р₂, Р₃, Р₄ может быть выполнено любым из описанных выше методов (по координатам, по линейно-угловым измерениям).

Д

Рис. 5.3 К способу Савича

ля повышения точности измерения площадейР₁, Р₂, Р₃ и Р₄ рекомендуется измерять еще и дополнения этих площа­дей до целых квадратов и окончательные их значения вычис­лять. Пусть, например, непосредственное измерение площади Р₁ дало результат R (рис. 5.3). Измерением площади, дополняющей R до пяти целых квадратов, получен результат Q. Если бы не погрешности измерений и деформации бумаги, то сумма R + Q равнялась бы точно P_Q – площади прямоуголь­ника, состоящего из пяти квадратов. Полагая погрешности пропорциональными размерам измеряемых площадей, напишем пропорцию , откуда следует . (5.3)

Аналогично вычисляют и площади Р₂, Р₃, Р₄.

Достоинством способа Савича является то, что значитель­ная часть площади (а именно – Р₀) определяется без измере­ний, аналитически. Уменьшение измеряемой части площади и выполнение измерений с контролем повышают точность оп­ределения площади. Кроме того, оказывается учтенной дефор­мация бумаги.

Если значительная часть площади составлена целыми квад­ратами, а измерять приходится лишь малую ее часть, точность способа Савича близка к точности аналитических способов.