2-3_1_Raschet ploskoj fermi

Расчёт плоской фермы: Методические указания. / Сост. В.Г. Симоненко. – Томск: Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2007. – 25 с.

Рецензент доцент О.Н. Попов Редактор Г.Г. Семухина

В методических указаниях содержатся материалы для организации самостоятельной работы студентов, список рекомендуемой литературы. Методические указания предназначены для выполнения расчётно-графической работы С-1 «Силовой расчёт плоской шарнирной фермы» студентами всех специальностей дневной формы обучения.

Печатается по решению методического семинара кафедры теоретической механики № 3 от 3 октября 2006 г.

Утверждены и введены в действие проректором по учебной работе В.С. Плевковым

с 04.04.2007 до 04.04.2012

Подписано в печать 21.12.2006 Формат 60x90/16. Бумага офсет. Гарнитура Таймс, печать офсет. Уч.- изд.л. 1 Тираж 500 экз. Заказ №

Изд-во ТГАСУ, 634003, г. Томск, пл. Соляная,2 Отпечатано с оригинал-макета в ООП ТГАСУ 634003, г. Томск, ул. Партизанская, 15

2

ОГЛАВЛЕНИЕ

3

Лучшего результата достигает тот, кто лучше рассчитывает.

Еврипид

ФЕРМЫ

При перекрытии больших пролетов в крупных строительных сооружениях, вышках, мостах, подъемных кранах и т. д. часто применяются шарнирно-стержневые конструкции, называемые фермами.

Фермой называется жёсткая, то есть геометрически неизменяемая конструкция, составленная из стержней, соединенных между собой по концам шарнирами.

При этом загружение производится только в шарнирах. Ферма называется плоской, если все стрежни фермы лежат в одной плоскости. Пространственная ферма составляется из ряда плоских ферм. Но нагрузка может действовать не только в плоскости фермы.

На рис. 1 схематично изображена плоская ферма.

Шарниры, в которых стержни закреплены по концам, называются узлами фермы.

Рис. 1

Рис №1

Узлы, которыми ферма опирается на основания, называются опорными узлами (узлы А и В). Расстояние между опорами А и В фермы называется пролетом фермы (рис. 1).

Известно, что простейшей жёсткой фигурой является треугольник. Следовательно, ферма, составленная из треугольных элементов, будет являться жёсткой фермой. Построить такую ферму можно следующим образом: к исходному шарнирному треугольнику АСD каждый новый узел добавлять посредством двух стержней.

4

Между числом узлов и стержней в таким образом построенной жесткой ферме существует зависимость

m=2n–3, (1)

где m – число стержней, n – число узлов,

3 – число опорных реакций.

Если пронумеровать узлы и стержни на рис. 1, то m=13,

n=8.

Тогда согласно условию (1) 13 2 8 3. То есть 13 13. Условие (1) называется условием жёсткости фермы.

Назначение фермы – максимально уменьшить деформацию прогиба пролёта фермы, и поэтому расчёт фермы составляет также задачу науки сопротивления материалов. Чтобы решить эту задачу методами статики, то есть не иметь дела с деформацией стержней, для фермы вводятся следующие ограничения:

1)все стержни фермы являются абсолютно твердыми и прямолинейными;

2)весом стержней пренебрегают, считая их невесомыми;

3)внешние силы приложены только в узлах фермы;

4)все узлы фермы – идеальные шарниры, то есть трением в шарнирах пренебрегают.

Такие ограничения не вполне соответствуют действительности (в реальных фермах стержни соединены не идеальными шарнирами, а посредством сварки или заклёпок, стержни весомы, внешние силы не обязательно приложены к узлам и т.д.). Однако такие допущения облегчают расчёт фермы, а результаты вычисления при этом вполне пригодны для практики.

Замена реальной фермы некоторой абстрактной моделью приводит к тому, что стержни фермы будут подвержены только растягивающим или сжимающим усилиям, направленным вдоль стержней.

Рассмотрим отдельно какой-либо стержень фермы. Пусть на него действуют внешние сжимающие силы (рис 2, а). Для того, чтобы возникшие вследствие этого внутренние усилия в стержне перевести в разряд внешних сил, применим метод сечения.

5

S S

Рис. 2, а

Так как оба узла находятся в равновесии, то реакции в левой и правой частях рассеченного стержня должны быть направлены про-

тивоположно приложенным внешним силам F , то есть в узел. Такое усилие S называется сжимающим усилием и в дальнейшем будем обозначать его со знаком "-".

Аналогично рассуждая, если на стержень действуют внешние растягивающие усилия (рис. 2, б), то внутренняя реакция S будет направлена от узла.

S S

Рис. 2, б

Это усилие S будем называть растягивающим усилием и обозначать его со знаком "+".

Рассчитать ферму означает найти опорные реакции и определить внутренние усилия во всех стержнях фермы по величине и направлению.

Прежде чем приступить к расчёту фермы, необходимо выяснить, является ли заданная ферма статически определимой (число неизвестных в задаче не должно превышать числа уравнений равновесия). Условие статической определимости можно легко получить из следующих соображений. Так как ферма плоская, то система всех внешних сил и сил реакции при определении опорных реакций будет являться плоской произвольной системой сил, для которой можно записать три уравнения равновесия и, следовательно, число неизвестных не может быть больше трёх. Кроме того, в каждом стержне фермы действует неизвестная по величине и направлению внутрен-

6

няя сила. Таким образом, всего неизвестных в задаче может быть m+ 3, где m – число стержней. Действие внутренних сил можно определить, мысленно вырезая каждый узел. В силу ограничений, наложенных на ферму, о которых говорилось выше, к каждому узлу будет приложена плоская сходящаяся система сил, для которой можно записать два уравнения равновесия. Так как узлов в ферме n, то всего уравнений равновесия для всех узлов будет 2n. Приравнивая число неизвестных к числу уравнений равновесия, получим формулу

m + 3 = 2n или m = 2n – 3.

Эта формула представляет собой условие статической определимости задачи, и она совпадает с формулой (1). Таким образом, формула (1) одновременно является условием жёсткости и статической определимости фермы.

Для того чтобы рассчитать ферму, необходимо последовательно выполнить следующие этапы:

а) внимательно изучить условия задачи; б) проверить ферму на жёсткость и статическую определимость; в) определить опорные реакции фермы;

г) произвести проверку полученных значений опорных реакций; д) выбрать метод расчёта усилий в стержнях фермы и с его помощью найти усилия во всех стержнях фермы по величине и на-

правлению.

Для расчёта усилий во всех стержнях существует две группы методов расчёта – аналитические и графические. К аналитическим относятся: 1) способ вырезания узлов; 2) метод сквозных сечений (метод Риттера). К графическим – 1) построение силовых многоугольников для каждого узла; 2) построение диаграммы Максвелла– Кремоны.

Каждый из этих методов будет рассмотрен позже и проиллюстрирован при расчёте конкретной фермы, представленной на рис. 3.

7

Решение задачи начинается с проверки её на жёсткость и статическую определимость. Для этого пронумеруем стержни и узлы фермы. Здесь m = 13; n = 8. Подставим эти значения в формулу (1): 13 2 8 3 13, то есть ферма жесткая и статически определимая.

Далее освобождаем ферму от связей. В точке А – неподвижный шарнир, в точке В – невесомый стержень (рис. 3). Из рис. 4 видно, что к ферме приложена плоская произвольная система сил.

Запишем для неё три уравнения равновесия, из которых определим опорные реакции XA , YA, YB при P1 2 кН, P2 4 кН, P3 1 кН, P4 1 кН.

1)Xi 0; XA P3 P4 0,

2)Yi 0; YA P1 P2 YB 0,

3)mA(Fi ) 0; P1 a P3 4a P4 4a P2 3a YB 2a 0.

Решая полученную систему уравнений, получим:

После определения опорных реакций записываем проверочное уравнение, выбирая моментную точку так, чтобы в это уравнение вошли все определённые выше реакции.

8

Проверка: mII (Fi ) 0;

XA 2a YA a P3 2a P4 2a P2 4a YB 3a 17 17 0.

Прежде чем приступать к расчёту усилий в стержнях какимлибо из перечисленных способов, рекомендуется развернуть в противоположные стороны реакции связей, которые при вычислении оказались со знаком минус (в нашем случае XA, YB ) так, как это показано на рис. 5.

A IV V

YA YB

Рис. 5

При выполнении этих операций все реакции связей будут положительны XA 2 кН; YA 1 кН; YB 3 кН и направлены так, как показано на рис. 5.

Так как углы между стержнями в данной ферме не заданы, исходя из ее геометрии, найдем тригонометрические функции, необходимые для расчётов.

Теперь ферма подготовлена к определению усилий в стержнях, которые мы начнем считать, используя метод вырезания узлов.

9

МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ (АНАЛИТИЧЕСКИЙ)

Основная идея этого способа заключается в том, что если вся ферма находится в равновесии, то и каждый её узел также находится

вравновесии. Усилия во всех стержнях определяются последовательным вырезанием всех узлов фермы. Причём при переходе к следующему узлу выполняется аксиома сил действия и противодействия для усилий в стержнях, определённых ранее.

Как уже говорилось выше, в силу ограничений, наложенных на ферму, все внешние силы и силы реакций рассечённых стержней (эти силы реакций по модулю равны внутренним усилиям в стержнях) будут представлять собой для каждого вырезанного узла плоскую сходящуюся систему сил, для которой можно записать два уравнения равновесия. Следовательно, можно рассчитывать усилия

встержнях только в таких узлах, в которых содержится не более двух стержней, усилия в которых неизвестны, независимо от то-

го, сколько стержней закреплено в узле. Учитывая это, узлы, с которых можно начинать расчёт усилий в стержнях фермы, должны содержать только два стержня. Например, в ферме, представленной для расчетов, такими узлами могут быть только узел I и узел VII, так как остальные узлы содержат более двух неизвестных. После того, как усилия в стержнях выбранного узла найдены, переходят на следующий узел, удовлетворяющий вышесказанным требованиям. Как правило, это один из двух соседних узлов по отношению к узлу, в котором внутренние силы в стержнях уже определены (табл. 1).

Так как при расчёте усилий в стержнях, принадлежащих како- му-либо узлу, заранее неизвестно, какие усилия в нем действуют – сжимающие или растягивающие, то условно предполагается, что во всех рассеченных стержнях усилия растягивающие, то есть направленные в каждом стержне от узла. В результате расчета те усилия, которые будут иметь знак "+" окажутся растягивающими, со знаком "-" сжимающими (направленными в узел).

Основное достоинство этого способа заключается в том, что он прост и универсален, позволяет найти усилия во всех стержнях фермы. Основным недостатком является отсутствие текущего контроля правильности вычислений. Их верность подтверждается только при расчёте последнего узла, когда усилия во всех его стержнях уже найдены и остается только подтвердить, что он находится в

10