Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Архитектурно-Строительный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2-3_1_Raschet ploskoj fermi

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.04.2015

Размер:

565.89 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

равновесии (узел VIII табл. 1). Этот узел обычно называют контрольным узлом.

Кроме того, при расчетах происходит накопление ошибки по мере движения от узла к узлу, связанной с округлением полученных результатов. Данный недостаток можно компенсировать или увеличивая число знаков после запятой, или оставляя корни в полученных значениях усилий до конца расчетов (табл. 1).

Применение графического способа вырезания узлов позволяет устранить недостаток текущего контроля за вычислениями. Для этого надо при расчете каждого узла аналитически, параллельно находить усилия в стержнях графическим методом. В этом случае строятся замкнутые силовые многоугольники всех сил, приложенных к узлу, в некотором выбранном масштабе, из которых и определяются искомые усилия. На следующий узел надо переходить только в том случае, если ответы, полученные обоими способами, совпали. Рассмотрим этот способ подробнее.

ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ВЫРЕЗАНИЯ УЗЛОВ

Все идеи, высказанные для аналитического способа вырезания узлов, аналогичны и для этого метода. Только вместо уравнений равновесия, записанных для каждого узла в аналитической форме, эти уравнения приводятся в векторном виде. Для того, чтобы найти искомые усилия, эти уравнения записываются в определенном порядке: сначала в векторной сумме идут векторы всех известных как внешних сил, приложенных к данному узлу, так и уже определенных векторов усилий в некоторых стержнях и только затем записываются векторы неизвестных еще усилий, которых не может быть больше двух. Условием равновесия каждого узла в векторном виде является замкнутость силового многоугольника, состоящего из действующих на узел внешних сил и усилий в стержнях, приложенных этому узлу. Силовой многоугольник строится в выбранном масштабе, исходя из того, что в нем конец предыдущего вектора является началом следующего. Так как силовой многоугольник замкнутый, то конец последнего вектора должен совпасть с началом первого вектора. После того, как отложены параллельно самим себе в вы-

бранном масштабе все известные векторы сил, через конец последнего известного вектора проводится параллельно самой себе линия действия первого неизвестного по модулю вектора усилия, а через начало первого вектора векторной суммы (силовой многоугольник замкнутый) проводится линия действия второго неизвестного вектора усилия. Пересечение этих линий действия дает нам два искомых вектора усилий.

Направления найденных усилий находятся, исходя из простых соображений: пройдя по силовому многоугольнику в указанных направлениях, через два оставшихся надо оказаться в начале первого вектора векторной суммы. В этом направлении необходимо нарисовать стрелочки этих двух векторов. Знаки "+" или "-" в найденных усилиях определяются следующим образом: сравниваются силовой многоугольник с вырезанным узлом (см., например, узел I табл. 1).

На силовом многоугольнике S2 направлен вверх, а на схеме узла это направление соответствует направлению в узел, значит, знак S2 бу-

дет "-" – сжимающее усилие. Аналогично для S1, сравнивая направ-

ление S1 на силовом многоугольнике с узлом, получим, что S1 направлено от узла, то есть со знаком "+" – растягивающее усилие. Модули найденных усилий определяются измерением линейкой длин отрезков на силовом многоугольнике, умноженным на масштабный коэффициент.

И последнее, что необходимо учитывать при построении силовых многоугольников последовательно вырезанных узлов. Каждый стержень принадлежит двум соседним узлам (узлы I и II – им принадлежит стержень 1), поэтому, строя силовой многоугольник узла II, направление S1 необходимо развернуть на противоположное, так как предварительно усилия в каждом узле изначально считаются положительными, то есть направленными от узла, что позволяет автоматически выполнять аксиому сил действия и противодействия.

Расчёт усилий во всех стержнях фермы способом вырезания узлов в аналитической и графической формах приведён для взятого примера в табл. 1. Масштаб при построении силовых многоугольников выбран 1см 1кН.

Таблица 1

Метод вырезания узлов

Xi 0	P3 S1	sin		0				S1
		sin		0							5		P3 S2 S1	0



Yi 0	S2 S1	cos			0

								S2		2







Xi 0	S1 cos S3 S4cos						0	S3		1		P1 S1 S3 S4			0









Yi 0	S1sin S4 sin P1					0		S4	0






Xi 0	S6 S3		0

								S5		2			S3 S2 S6 S5			0
																0




Yi 0	S 2 S 5		0					S6		1
Yi 0	S 2 S 5		0					S6

	Xi 0	S8 S7 cos S4 cos Xa	0	2
			S7	2

Yi 0	S7sin S5 S4sin Ya	0	S8	0

Ya Xa S4 S5 S7 S8 0

Продолжение табл. 1

№

Схема нагружения

Уравнения равновесия

Усилия,

Векторные условия равновесия,

узла

для узла

кН

замкнутые силовые многоугольники

Xi 0

S13 cos S8

Yb S8

S13

Yi 0

S13 sin S9 Yb

Xi 0

S10

S12 S6 S7cos

S9 S7 S6

S10

S12

Yi 0

S12

S10 S7sin S9

S10 P4

S11

Xi 0

P4 S11 sin

S11

5 êí

Xi S11 cos S12 S13 cos 0

	Yi P2 S11 sin S13 sin 0

МЕТОД СКВОЗНЫХ СЕЧЕНИЙ (МЕТОД РИТТЕРА)

Основная идея метода – если вся ферма находится в равновесии, то и любая её часть также сохраняет равновесие. При определении усилий в стержнях этим способом ферма рассекается сквозным сечением на две части, каждая из которых должна содержать не менее двух узлов. Классическим сквозным сечением является рассечение фермы по трем стержням. В этом случае можно найти усилие в каждом из этих стержней. Для определения искомых усилий одну из этих частей (как правило, более громоздкую) отбрасывают, а для оставшейся части записываются уравнения равновесия для плоской произвольной системы сил в третьей форме записи уравнений равновесия – теореме трёх моментов (если все три стержня не параллельны между собой), например, сечение а–а (рис. 6). Если два из трех стрежней параллельны между собой, то уравнения равновесия записываются во второй форме, то есть два уравнения моментов, а третье – проекции сил на ось, перпендикулярную к этим двум стержням (сечение b–b) (рис. 6). Уравнения моментов записываются относительно так называемых точек Риттера.

Точкой Риттера называется точка пересечения линий действия усилий двух или более стержней.

В некоторых стержнях фермы усилие можно определить, проведя сечение более чем по трем стержням. В этом случае от фермы отсекается как правило два узла (сечение с–с) (рис. 6). Один узел содержит стержень, в котором определяется усилие, а второй узел содержит пучок стержней (то есть узел, содержащий более двух стержней). Этот второй узел является точкой Риттера в уравнении моментов. При таком сечении удается найти усилие только в том стержне, который не принадлежит узлу с пучком стержней.

Основное достоинство этого метода заключается в том, что он позволяет независимо определить усилие в любом стержне фермы, если для него применим этот способ.

Основной недостаток заключается в полном отсутствии контроля правильности вычисленных усилий в стержнях. В связи с этим, чтобы не распространять ошибки, на метод сквозных сечений накладывается сильное ограничение. Оно состоит в том, что уравнение равновесия, с помощью которого рассчитывается искомое усилие, должно содержать только одну неизвестную величину – опре-

деляемое усилие – независимо от того, найдены или нет усилия в
других отсечённых стержнях. Это ограничение приводит к тому, что
в некоторых фермах могут быть стержни, в которых данным мето-
дом усилие найти невозможно (в нашей ферме это девятый стер-
жень).
	Всё вышеизложенное представлено на (рис. 6) и табл. 2.
			I		P3	VII		P4
			I			а
						а
		c	1	2	c	b 10	11	P2
		c		2	c	b 10

		II	3	III	6	VI	12
			3
								VIII
		P1	4	5	7	9	13		а
					7		13

		XA				8
		XA		IV		V
				IV		V
			YA				Y
						b	B
						b
				Рис. 6
										Таблица 2
Сече-	Схема нагружения				Уравнения равновесия					Значения
ние	рассм. части фермы									усилий,
										кН
		VII
		P4		mVIII (Fk ) 0,			P4 2a S10		a 0;	S10 2
а–а	S10			mVIII (Fk ) 0,			P4 2a S10		a 0;	S10 2
а–а	S10	P2
		P2		mV	(Fk ) 0,
		S12		mV	(Fk ) 0,					S12 0
	VI	S12				P a P 4a S 2a 0;
	VI	VIII				P a P 4a S 2a 0;
						2	4	12

		S13		mVI (Fk ) 0,					2a 0.
	V					S13 sin a P2		a P4	2a 0.	S13 5
	V
16

Продолжение табл. 2

Сече-

Схема нагружения

Уравнения равновесия

Значения

ние

рассм. части фермы

усилий,

кН

VII

mIV (Fk ) 0,

b–b

2a 0;

2a P 3a P 4a S

mVI (Fk ) 0,

VIII

P2 a P4 2a S8 2a 0;

S8 1

Yi 0,

S7 sin P2

mIII (Fk ) 0,

c–c

S1 α

sin 2a P 2a 0.

III

ПОСТРОЕНИЕ ДИАГРАММЫ МАКСВЕЛЛА-КРЕМОНЫ

Все основные идеи этого способа аналогичны идеям графического способа вырезания узлов. Но как уже можно было заметить (табл. 1), применяя графический способ вырезания узлов, вектор усилия каждого стержня приходилось строить дважды (например,

вектор S1 участвует в построении силовых многоугольников для I и II узлов, аналогично для всех остальных усилий, так как каждый стержень принадлежит двум узлам). В связи с этим значительно возрастает количество операций, и как результат – точность полученных результатов снижается.

Эти недостатки устраняются в графическом построении, называемом диаграммой Максвелла–Кремоны. Такой способ решения задачи был разработан английским физиком Максвеллом в 1864 г. и независимо от него итальянским математиком Кремоной в 1872 г.

Для построения диаграммы, кроме определения реакций связей, необходимо предварительно сделать следующее:

а) ферму построить строго в масштабе, точно откладывая углы;

б) расставить все внешние силы (активные и силы реакции) вне контура фермы.

"Изюминка" метода состоит в специфическом обозначении всех внешних и внутренних усилий. Для этого ферма разбивается на области (или поля).

Областью фермы называется часть плоскости, в которой лежит ферма, ограниченная линиями действия сил.

Область называется внешней, если она ограничена линиями действия внешних сил.

Область называется внутренней, если она ограничена линиями действия внутренних сил.

При разбиении фермы на внешние области заранее выбирается направление обхода фермы по или против хода часовой стрелки. В нашем случае – по ходу часовой стрелки. Обозначение внешних полей можно начинать с любой из них (рис. 7). Затем, двигаясь по часовой стрелке и пересекая линию действия следующей внешней силы, ставится следующая буква и т. д. Таким образом, получим внешние поля А, В, С, D, E, F, G (рис. 7). В результате такой разбив-

ки все внешние силы при обходе по часовой стрелке будут обозна-

чаться двумя буквами, например, реакция XA запишется в виде AB,

сила P1 – BC и т. д.

Для того чтобы также записывать все внутренние усилия, далее обозначаются внутренние поля фермы: H, K, L, M, О, N.

обход


I	P3	VII	P4
I

С	1		D			E
	1	2		10		11
	H	2		10	N	P2
	H				N	P2
II	3	III	6	VI 12
P1	K		L		O VIII
P1	4	5	7	9		13
	B		M	9		F
XA			8			F
XA		IV		V
		IV		V
	A	YA	G		YB
		YA

Рис. 7

Построение диаграммы начинается с построения так называемого опорного многоугольника всех внешних сил, являющегося замкнутым (ферма находится в равновесии). Векторное уравнение равновесия опорного силового многоугольника с учетом обхода фермы имеет вид

GA AB BC CD DE EF FG 0,

причем силы в этом уравнении записываются только в том порядке, в каком они встречаются при обходе контура фермы. Многоугольник внешних сил строится в предложенном порядке, откладывая

первый вектор YA от произвольной точки плоскости в некотором выбранном масштабе сил (в нашем случае 1 см – 0,5 кН) (рис. 8). Силы в диаграмме обозначаются по концам маленькими одноименными буквами, соответствующими обозначениями полей, между которыми лежат эти силы.

В дальнейшем к этому опорному многоугольнику достраиваются замкнутые силовые многоугольники последовательно вырезаемых узлов с учетом всех требований графического метода вырезания узлов, из которых и определятся искомые усилия по величине и направлению.

Запишем условия равновесия последовательно вырезаемых узлов, позволяющих строить силовые многоугольники узлов:

I CD DH HC 0,

II BC CH HK KB 0,

III KH HD DL LK 0,

IV GA AB BK KL LM MG 0,

V FG GM MO OF 0,

VI OM ML LD DN NO 0,

VII ND DE EN 0,

VIII(контрольный узел) EF FO ON NE 0.

Строя силовые многоугольники узлов фермы, необходимо иметь в виду, что каждый узел обходится в выбранном направлении обхода фермы (по часовой стрелке) и силы в уравнениях равновесия записываются строго в порядке обхода узла так, чтобы неизвестные усилия в этих уравнениях были последними.

Согласно записанным выше уравнениям равновесия достраивается диаграмма Максвелла–Кремоны (рис. 8).

Исследуя векторные уравнения равновесия узлов, обратим внимание на то, что каждое внутреннее усилие на диаграмме строится только 1 раз. Например, строя силовой многоугольник узла I и находя усилие nc видим, что второй раз (узел II) его не надо рисовать, так как оно уже известно, и во втором уравнении оно обозначено cn , то есть развернуто в противоположную сторону и на диаграмме уже присутствует.

На диаграмме, представленной на рис. 8, изображены векторы всех внешних и внутренних усилий фермы в выбранном масштабе:

1см 0,5кН.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.08.2019629.25 Кб16126204_DC2B4_opredelenie_udelnogo_zaryada_elekt...doc
#
12.04.2015105.25 Кб33160480.rtf
#
12.04.2015323.44 Кб1117-Istochnikov-Vdohnoveniya.pdf
#
31.07.2019121.86 Кб30176943.doc
#
12.04.2015481.45 Кб252-2_Primer vipolnenija S1 Ferma.pdf
#
12.04.2015565.89 Кб482-3_1_Raschet ploskoj fermi.pdf
#
08.09.2019138.75 Кб162012_Primer analizaIGU(1).doc
#
06.11.201837.74 Mб78275096_3680E_metodicheskie_ukazaniya_dosugovyy_....doc
#
30.07.2019152.06 Кб182кпМУсанитария.doc
#
12.04.2015103.42 Кб243.doc
#
31.10.2018211.97 Кб74 ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ.doc