9. Плоскость в пространстве

9.1. Уравнение плоскостиможно получить в каждом из следующих двух случаев:

1) Если на плоскости в заданной системе координат известна точка и известен нормальный векторэтой плоскости (т.е. вектор, перпендикулярный плоскости).

2) Если на плоскости известна точка и известны два неколлинеарных между собой вектора, параллельных данной плоскости.

Как получить уравнение плоскости в том и другом случаях?

1) Пусть дана точка и нормальный вектор. Требуется получить уравнение плоскости, проходящей через точкуперпендикулярно вектору(рис. 10).

M₀

M

Рис. 10

Пусть – произвольная точка плоскости. По условию перпендикулярности.

Переходя к координатам векторов, получим

Введем обозначение , тогда уравнение плоскости примет вид:

.

Это уравнение называют общим уравнением плоскости. Заметим, что в этом уравнении коэффициенты – координаты нормального вектора плоскости.

2) Пусть задана точка и два неколлинеарных вектораи. Требуется получить уравнение плоскости, проходящей через точкупараллельно векторами(рис. 11).

Рис. 11

Пусть – произвольная точка плоскости. По условию задачи векторы,,компланарны, следовательно, их смешанное произведение равно нулю:

.

Переходя к координатам векторов, получим:

Раскрывая определитель, получим общее уравнение плоскости.

Рекомендации по решению задач

Задача 1. Даны векторы . Показать, что векторыиобразуют базис. Разложить векторпо векторами.

Решение.

Покажем, что векторы иобразуют базис. Действительно, так как они ненулевые и неколлинеарные, поскольку, то согласно пункту 4.1 векторы образуют базис.

Разложим вектор по векторами. То есть представим векторв виде

и найдем координаты вектора (числаи).

Записав это равенство в координатах, т.е. подставив в него координаты векторов ,и, получаем систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентови:

Решая полученную систему одним из известных методов, получаем

Значит, вектор раскладывается по векторамиследующим образом:.Ответ:

Задача 2. Даны точки А₁ (4, 2), А₂(2, 3), А₃ (10, 5).

Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между векторами и .

Решение.

1. Чтобы найти длину (модуль) вектора . Найдем координаты векторасогласно пункту 4.4:. Теперь, следуя указанию 4.5, вычислим длину вектора:

.

2. Угол между векторами и(п.5.3) найдем по формуле

.

Для этого найдем сначала координаты вектора

,

а затем вычислим скалярное произведение

.

Найдем также длину вектора (п. 4.5):

.

Подставляя найденные величины в формулу для нахождения косинуса угла, получаем

.

Задача 3. Даны вершины пирамиды А (4, 2, 6), В(2, 3, 0),

С (10, 5, 8) и D (5, 2, 4). Найти: 1) площадь грани ;

2) объем пирамиды.

D

A

C

B

Рис. 13

Решение.

1. Чтобы найти площадь грани , воспользуемся формулой

.

Координаты вектора мы уже. Найдем координаты вектора:

.

Вычислим векторное произведение векторов ипо формуле из пункта 6.3:

.

Найдем теперь модуль векторного произведения (п.4.5)

.

Отсюда получаем

кв.ед.

2. Из школьного курса известно, что объем пирамиды, построенной на векторах равенот объема параллелепипеда, построенного на тех же векторах. Таким образом,

.

И мы получаем . Искомый объем равен

куб.ед.

Задача 4.Заданы вершины треугольника А (3, 4), В (5, 2) и С (4, 6) Требуется составить уравнения:

1) стороны АВ;

2) высоты ВР, проведенной из вершины В.

Рис. 14

Решение.

1. Чтобы получить уравнение стороны АВ,воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки:

.

Уравнение прямой АВпримет вид:

.

Полученное каноническое уравнение простым преобразованием приведем к виду

.

Это общее уравнение прямой АВ.

3. Чтобы получить уравнение высоты , воспользуемся тем, что векторявляется нормальным вектором прямой. Пусть– произвольная точка этой прямой.. Найдем координаты векторови:,. Тогда получим

.

Отсюда окончательно общее уравнение искомой прямой имеет вид:

.

Задача 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости.

Решение.

Из общего уравнения плоскостинаходим координаты ее нормального вектора. Так как по условию данная плоскость параллельна искомой плоскости, то ее нормальный вектор перпендикулярен искомой плоскости (рис. 14).

Рис. 15

Таким образом, получаем первый случай из рассмотренных выше (п. 9.2). Векторы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:

.

Имея координаты этих векторов: ,, получаем

.

Упростив это уравнение, получаем общее уравнение искомой плоскости:

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ

Студент должен выполнять контрольное задание по варианту, номер которого совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).