Параллельные и пересекающиеся плоскости.

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые в одной плоскости параллельны соответствующим двум пересекающимся прямым в другой плоскости, если плоскости не параллельны, то они пересекаются (рис.16).

Пересекающиеся плоскости, образуют линию пересечения плоскостей. Для ее построения достаточно найти две общие точки этих плоскостей. Например: даны две плоскости - (треугольник) и(пересекающиеся прямыеa,b) (рис.18). Необходимо построить линию их пересечения.

Решение. Задача решается с помощью вспомогательных плоскостей, секущих заданные.

1.Плоскостиипересекаются вспомогательной фронтально проецирующей плоскостью. По фронтальным проекциям линий пересечения плоскостейи(отрезок2),и(отрезок1) строят их горизонтальные проекции (отрезки4и3). Находят точкуК₁пересечения этих горизонтальных проекций. ТочкаК₁общая для всех трех плоскостей (,и ). На линии связи строят ее фронтальную проекциюК₂.

2.Плоскости ипересекают вспомогательной фронтально проецирующей плоскостьюи повторяют вышеописанные построения. Находят вторую общую для трех плоскостей (,и) точкуL(L₁,L₂– ее проекции). Прямая, проходящая через точкиKиLесть линия пересечения плоскостей.

В случае, если плоскости  и заданы следами (рис.19), то для построения линии пересечения плоскостей необходимо: 1. Продлить следыи определить точкиM₁,N₂пересечения одноименных следов.

2. Построить на оси хнедостающие проекции точек пересеченияM₂,N₁.

3. Соединить фронтальные и горизонтальные проекции точек M₁N₁иM₂N₂. Линия, проходящая через точкиM,Nявляется линией пересечения плоскостей.

Взаимное положение точки и плоскости, прямой и плоскости.

Точка принадлежит плоскости, если через нее можно провести прямую, лежащую в этой плоскости.

Задача. Дано: пересекающимися прямыми a, bзадана плоскость. Имеются две точки пространстваА,В. Необходимо выяснить какая из точек принадлежит плоскости.

Решение (рис.20). 1. Через фронтальные проекции точек А,Впроводят фронтальные проекции горизонталейg₂,t₂ плоскости.

2. Строят горизонтальные проекции горизонталей g₁,t₁. Если проекции точки лежат на одноименных проекциях горизонталей, то точка принадлежит плоскости (в примере – точкаА), если хотя бы одна проекция точки не лежит на одноименной проекции горизонталей, то точка не принадлежит плоскости (в примере – точкаВ).

Прямая может принадлежать плоскости, быть ей параллельна и пересекать ее. Прямая принадлежит плоскости, если две ее точки принадлежат данной плоскости. Отсюда вытекает правило: прямая лежит в плоскости, если она пересекает две прямые, принадлежащие плоскости. На рис.21,а показана прямаяKLпринадлежащая плоскости(АВС), поскольку прямаяKLпересекает прямыеАВиВС, принадлежащие плоскости.

Если плоскость задана следами, то правило звучит так (рис.21,б): прямая (следы М₁,N₂) принадлежит плоскости (), если следы прямой лежат на одноименных следах плоскости.

Прямые (в плоскости) особого положения: 1) горизонталь плоскости; 2) фронталь плоскости; 3) профильная прямая плоскости; 4) линия наибольшего ската.

Горизонталь плоскости– это прямая, лежащая в плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций. Фронталь и профильная прямая – это прямые, лежащие в плоскости и параллельные соответственно плоскостям проекцийП₂иП₃.Линия наибольшегоската– это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная горизонталям плоскости.

Задача. Дано: плоскость задана треугольником АВС. Необходимо построить линию ее наибольшего ската.

Решение (рис.22). 1. На плоскости проекций П₂строится фронтальная проекция произвольной горизонталиg₂(параллельно осих), затем ее горизонтальная проекцияg₁(точки3,4).

3. Перпендикулярно g₁из любой точки плоскости (в примереС₁) проводится горизонтальная проекция линии наибольшего скатаs₁. На фронтальной проекции строится ее фронтальная проекцияs₂.

По линии наибольшего ската определяют угол наклона плоскости к горизонту, который еще называется углом падения плоскости.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Задача. Дано (рис.23): треугольником АВСзадана плоскость. Прямыеk,d, не принадлежащие плоскости. Определить какая из прямых параллельна плоскости.

Решение. 1. Во фронтальной проекции строят проекцию f₂прямойf, принадлежащей плоскостиАВСи параллельную проекциям данных прямыхk₂иd₂.

2. Строят горизонтальную проекцию f₁прямойf. Если одноименные проекции данной прямой и прямой, принадлежащей плоскости параллельны, прямая параллельна плоскости (в примереd//АВС). Если хотя бы одна проекция не параллельна, то прямая не параллельна плоскости (в примереkне параллельна плоскостиАВС).

Прямая пересекает плоскость, если она ей не параллельна. В этом случае можно найти точку пересечения прямой с плоскостью.

Задача. Дано (рис.24): треугольником АВСзадана плоскость, прямаяa, не параллельная плоскости. Определить точку пересечения прямой и плоскости.

Решение. 1. Через прямую aпроводят вспомогательную плоскость, пересекающуюАВС. Целесообразно использовать проецирующую плоскость (в примере фронтально проецирующая). ПлоскостииАВСво фронтальной проекции пересекаются по прямойD₂F₂. Строят ее горизонтальную проекциюD₁F₁.

2. Определяют на горизонтальной проекции точку K₁пересечения прямойа₁иD₁F₁, которая является горизонтальной проекцией точки пересечения прямойаи плоскостиАВС. Строят фронтальную проекциюK₂точкиК.

Частный случай пересечения прямой и плоскости – это их взаимно перпендикулярность. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых удобно выбирать прямые частного положения: горизонталь и фронталь. Тогда правило перпендикулярности прямой и плоскости звучит так: прямая перпендикулярна плоскости, если ее горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости.

Задача. Дано (рис.25,а): треугольникомАВСзадана плоскость, вне ее находится точкаD. Необходимо из точкиDопустить перпендикуляр на плоскостьАВС.

Решение. 1. Строят горизонталь gи фронтальfплоскостиАВС.

2. Из точек D₁,D₂опускают перпендикуляры на соответствующие проекции фронталиf₂и горизонталиg₁. Прямаяdесть перпендикуляр к плоскостиАВС.

Если плоскость задана следами, то эпюр прямой ВСперпендикулярной плоскостивыглядит как на рис. 25,б.