9.6. Контрольные вопросы

1. Что такое интегральная сумма? Составьте интегральную сумму функции , соответствующую разбиению области на прямоугольники и выбору левых верхних вершин этих прямоугольников в качестве промежуточных точек.

2. Что называется диаметром ограниченного множества точек? Чему равен диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) области, ограниченной эллипсом ?

3. Дайте определение предела интегральных сумм и двойного интеграла. Докажите, что неограниченная в области функция не интегрируема в этой области.

4. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность двойных интегралов.

5. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для двойного интеграла, аналогичную теореме для определенного интеграла.

6. Сведите двойной интеграл к повторному двумя способами, еслиG – круг, ограниченный окружностью .

7. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интеграле.

8. Дайте определение предела интегральных сумм и тройного интеграла. Докажите, что неограниченная в пространственной области функция не интегрируема в этой области.

9. Напишите формулы, выражающие линейность и аддитивность тройных интегралов.

10. Сформулируйте теорему о формуле среднего значения для тройного интеграла.

11. Сформулируйте теорему о сведении тройного интеграла к повторному, в котором внутренний интеграл является определенным интегралом.

12. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к цилиндрическим координатам. Вычислите якобиан перехода. Что представляют собой координатные поверхности,,и координатные линии?

13. Напишите формулы перехода от прямоугольных координат к сферическим координатам. Вычислите якобиан перехода. Что представляет собой координатные поверхности,,и координатные линии?

14. Сформулируйте определения: а) интегральных сумм для криволинейного интеграла первого рода; б) предела этих интегральных сумм; в) криволинейного интеграла первого рода.

15. Зависит ли от направления обхода кривой: а) криволинейный интеграл первого рода; б) какая-нибудь его интегральная сумма?

16. Для криволинейного интеграла первого рода сформулируйте: а) свойства линейности и аддитивности; б) теорему об оценке модуля интеграла; в) теорему о формуле среднего значения.

17. Зависит ли от направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода. Какое направление обхода замкнутой кривой принимают за положительное?

18. Сформулируйте теорему о существовании криволинейного интеграла второго рода и сведении его к определенному интегралу. Напишите соответствующие формулы для: а) плоской кривой заданной параметрически, в декартовых координатах; б) пространственной кривой, заданной параметрически.

19. Какая связь между криволинейными интегралами первого и второго рода?

8. Сформулируйте свойства линейности и аддитивности криволинейных интегралов второго рода.

9. Дайте определение поверхностного интеграла первого рода.

10. Напишите формулу вычисления поверхностного интеграла первого рода с помощью двойного интеграла для явно заданной поверхности.

11. Каким характеристическим свойством обладает двусторонняя поверхность; односторонняя поверхность?

12. Сформулируйте определение поверхностных интегралов второго рода. Как они обозначаются?

13. Зависят ли от ориентации поверхности:

а) поверхностный интеграл первого рода и его интегральные суммы;

б) поверхностный интеграл второго рода?

8. Какая область называется простой? Является ли простой областью: а) шар ; б) параллелепипед,,; в) тетраэдр,,,? Ответы обоснуйте.

9. Напишите формулу Остроградского-Гаусса и сформулируйте условия, при которых эта формула справедлива.

10. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, покажите что объем области , ограниченной кусочно гладкой поверхностью, можно вычислить по формуле

,

где интеграл берется по внешней стороне .

8. Какой интеграл называется зависящим от параметра. Теорема о непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра.

9. Сформулируйте теорему о дифференцировании собственного интеграла, зависящего от параметра. Следствие.

10. Какой несобственный интеграл называется зависящим от параметра. Определение равномерной сходимости.

11. Сформулируйте признак Вейерштрасса для несобственного интеграла, зависящего от параметра.

12. Сформулируйте теорему о дифференцируемости несобственного интеграла, зависящего от параметра.