- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
Определение 4. Пусть – гладкая ориентированная поверхность в пространстве, ориентация которой определяется единичным вектором(рис. 25). Пусть также в каждой точкеопределена векторная функция=. Поверхностный интеграл первого рода, когда подынтегральной функцией является скалярное произведение, называетсяповерхностным интегралом второго рода
.
И
.
П
Рис.25
.
Запишем развернутое представление интеграла. Так как , а, где,,– углы, которые образует векторс осями координат, то
.
Согласно лемме, величины ,,– есть «приближённые» площади проекции элемента поверхностина координатные плоскостиyOz, xOz, xOy соответственно, то есть ,,, тогда
.
В
.
В
Рис.34
Получаем
,
где – смешанное произведение векторов. В координатной форме
. (22)
Таким образом,
. (23)
В правой части (23) стоит двойной интеграл по области G плоскости , а подынтегральная функция определена формулой (22).
Рассмотрим частный случай. Пусть область имеет явное представление. Обозначим,ии подставим в (22) и (23).
.
Если ина, то получаем
,
где – проекция нахОу.
Аналогично получаются следующие формулы. Если поверхность задана
функцией и, то
.
Если поверхность задана явно уравнением и, то
.
Пример 11. Вычислить интеграл , где – внешняя сторона параболоида , отсечённая плоскостью . (рис.35)
Решение. Заметим, что . Найдём нормаль к поверхности:
Рис.26
Рис.27
Рис.27
Ясно, что для единичного вектора выполняется условие:приипри. Поэтому разбиваем поверхность на две частии, описываемые уравнениямиприиприсоответственно (рис. 26).
Каждая из этих частей проектируется на плоскость в одну областьG, граница которой состоит из параболы и прямой. Сведём поверхностные интегралы поик двойным интегралам:
Используя подстановку , при, получаем
Укажем ещё один способ вычисления поверхностного интеграла второго рода через поверхность, заданную в неявном виде уравнением . Её можно рассматривать как поверхность уровняв скалярном поле, нормалькоторого направлена по градиенту в сторону возрастания С. Так как , тогда
Эта формула представляет собой поверхностный интеграл первого рода. Знак выбирается в зависимости ориентации поверхности.
П
Рис.28
Решение. Рассмотрим скалярное поле ,. Направление градиентаF совпадает с направлением нормали :
.
.
По формуле (24) получим
. <