9.5. Интегралы, зависящие от параметра

9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:

. (28)

Предполагается, что интеграл в правой части существует как интеграл Римана. Переменная уназываетсяпараметром.

Теорема 15.Если функциянепрерывна на замкнутом прямоугольнике , то функциянепрерывна на отрезке.

‰Пусть-произвольная точка на отрезке, функция, непрерывная на прямоугольникеП, равномерно непрерывна на нем (по теореме Кантора). Из равномерной непрерывности следует, чтоидляитакого, чтовыполняется. Тогда

.

Таким образом, получаем, что для , удовлетворяющему условиюсуществует предел, т.е.непрерывна на.<

Следствие. Еслинепрерывна на П, то выполняется равенство:

.

Доказательство следует из теоремы 15 и из теоремы для заданной на области П и интегрируемой на. (см. «Вычисление двойного интеграла»).

Теорема 16.Если функцияи её частные производныенепрерывны на прямоугольнике П, то функциянепрерывно дифференцируема на отрезкеи

или ,

т.е. интеграл (40), зависящий от параметра, можно дифференцировать по параметру.

‰Пусть,. В силу следствия к теореме 27 имеем

.

Получаем, что .

Тогда по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом будет:

,

причём в силу теоремы 27 непрерывна на.<

Следствие.Пустьинепрерывны на П, а функцииидифференцируемы на отрезке, причёмидля. Тогда справедлива формула

.

Эта формула называется формулой дифференцирования интеграла с переменными пределами интегрирования.

‰Рассмотрим функцию,. Запишем её как сложную функцию, где,и найдёмкак производную сложной функцииу:

.

Так как

;

;

,

то, подставляя полученные выражения для производных в формулу для вычисления , получаем доказываемую формулу. ■

9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:

. (29)

Пусть несобственный интеграл (29) сходится. В этом случае говорят, чтонесобственный интеграл сходится на отрезке .

Легко увидеть из признака Коши для несобственных интегралов, что интеграл (29) сходится в том и только в том случае, когда существует предел. Это означает, что длятакое, что длявыполняется

Определение 5. Несобственный интеграл (29) называетсяравномерно сходящимся на, если длятакое, чтовыполняется.

Таким образом, в отличие от определения простой сходимости требуется, чтобы число Вбыло зависящим только оти не зависит и не зависит оту.

Теорема 17. (Признак Вейерштрасса). Пусть:

1. функция интегрируема по Риману по переменнойхна любом отрезке;

2. функция определена на промежутке, причёмдля;(30)

3) интеграл сходится,

тогда несобственный интеграл (29) сходится абсолютно и равномерно на .

‰По признаку сравнения для несобственных интегралов в силу (30) несобственный интеграл (29)сходится абсолютно.

Из сходимости интеграла (29) следует, что такое, что длявыполняется. В силу (30) имеем

для и.

Следовательно, несобственный интеграл (29) сходится равномерно на .<

Теорема 18.Пусть функциянепрерывна на множествеи интеграл (29) сходится равномерно на. Тогда функциянепрерывна на.

‰Пусть-произвольная точка, т.е.. Тогда

. (31)

В силу равномерной сходимости несобственного интеграла (29) для такое, что для

,

тогда

. (32)

Фиксируем некоторое . Функциянепрерывна на прямоугольнике, следовательно, по теореме Кантора она равномерно непрерывна наП, т.е.такое, что длявыполняется. Отсюда следует, что

. (33)

Из (31), (32), (33) следует, что

, при .

Следовательно, непрерывна в произвольной точке. ■

Теорема 19.Пустьнепрерывна на множествеи интеграл (29) сходится равномерно на. Тогда

.

ÿПусть, тогда в силу следствия к теореме 15 имеем

. (34)

Из равномерной сходимости интеграла (29) следует, что для , что прииполучаем

и тогда

.

Следовательно,

. (35)

Переходя в равенстве (34) к пределу при , в силу (35) получим:

. <

Теорема 20.Пусть функция, частная производнаяи интеграл (29) непрерывны на, а интеграл-сходится равномерно на. Тогда функциянепрерывно дифференцируема наи справедлива формула:.

□ Пусть ,. В силу теоремы 19, имеем

.

Таким образом, . Отсюда следует, что

.

В силу теоремы 18, производная непрерывна на.<

Пример 16. Вычислить, .

Решение. Будем считатьb-фиксированной величиной, аa-параметром. Обозначим, тогда. Легко проверить, что интеграл сходится для. Пусть , .

Интеграл , т.е. сходится. Тогда по признаку Вейерштрасса следует равномерная сходимость по параметруaинтегралана отрезке.В этом случае несобственный интегралможно дифференцировать по параметру под знаком интеграла

при .

Тогда . Так как , то . Таким образом, получаем

.