- •Глава 9. Криволинейные и кратные и кратные интегралы
- •9.1. Интегралы по компактной фигуре
- •9.1.1. Определение и существование интегралов по фигуре
- •9.1.2. Свойства интегралов
- •9.1.3. Геометрический и физический смысл интегралов по фигуре
- •9.2. Криволинейные интегралы
- •9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
- •9.3. Двойные интегралы
- •9.3.1. Вычисление двойных интегралов. Основным способом вычисления двойных интегралов является сведение их к повторным однократным интегралам. Сначала рассмотрим случай прямоугольной области.
- •9.4. Поверхностные интегралы
- •9.4.1. Вычисление поверхностного интеграла Iрода.
- •9.4.2. Поверхностный интеграл iIрода.
- •9.4. Тройные интегралы
- •9.4.1. Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •9.5. Интегралы, зависящие от параметра
- •9.5.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Рассмотрим следующий интеграл:
- •9.6.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Пусть функция определена на множестве. Будем рассматривать интегралы вида:
- •9.6. Контрольные вопросы
- •9.7. Задания для самостоятельной работы
9.2. Криволинейные интегралы
9.2.1. Вычисление криволинейных интегралов по длине дуги. Пусть – функция, заданная на гладкой кривойL. Если L кусочно-гладкая, то соответственно интеграл можно представить суммой интегралов погладким кускам.
.
Пусть гладкая кривая задана уравнением ,. Функцияопределена и непрерывна в точках кривойL, причём – дифференцируемая функция.
Ранее была получена формула для дифференциала дуги: . Так как в точках кривойL функция , то, причём. Подставим полученное представление функции в исходный интеграл и получим:
.
Аналогично, если кривая задана уравнением ,, то. Тогда получаем
.
Таким образом, вычисление интеграла по кривой сводится к вычислению интеграла по отрезку изменения одной из переменных.
Если гладкая кривая L задана параметрическими уравнениями:
, ,
и инепрерывные и дифференцируемые функции, причем, аопределена на, тогда. Получаем
. (6)
Если L – гладкая пространственная кривая, заданная параметрическими уравнениями:
, ,
тогда , а интеграл вычисляется по формуле:
. (7)
Если L – гладкая кривая, заданная на плоскости полярным уравнением , , тогда с учетом того, что , получаем. Подставим в (6) и после преобразований получим
. (8)
Пример 1. Найти длину первого витка винтовой линии, заданной уравнениеми ,.
□ По формуле (7) будем иметь
. <
Пример 2. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где кривая– астроида.
□Запишем параметрические уравнения астроиды ,,. Так как,, то.
Отметим, что в четырех точках. Таким образом, астроида является кусочно-гладкой кривой. Получаем
. n
Пример 3. Вычислить криволинейный интеграл первого рода , где– кривая, заданная уравнением.
□ Перейдем к полярным координатам: , . Уравнение кривой примет вид
, .
Так как
, ,
то
9.2.2. Криволинейный интеграл iIрода
П
Рис.10
Определение 3. Криволинейный интеграл первого рода по кривой от функцииназываетсякриволинейным интегралом II рода от векторной функции по кривой:
.
Учитывая, что получаем:
. (9)
В декартовой системе координат векторы имеют координаты:
,
,
,
тогда
или
.
Криволинейный интеграл второго рода обладает, как и криволинейный интеграл первого рода, свойствами линейности и аддитивности, а также очень важным дополнительным свойством: он меняет знак при изменении ориентации кривой, т.е.
.
Докажем это утверждение. Действительно, если кривой соответствует касательный вектор, то, тогда
Если L – непрерывная кусочно-гладкая кривая, то представим её как объединение конечного числа гладких кривых ,, т.е.. Тогда по определению получаем:.
9.2.3. Вычисление криволинейного интеграла II рода. Если кривая L – гладкая и имеет векторное представление ,, то, где. Вычислив скалярное произведение в декартовой системе координат, получим формулу для вычисления криволинейного интеграла:
.
Если – плоское поле и кривая задана в явном виде, т.е.,, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
,
так как ,,,.
Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по трем кривым, соединяющим точкии, изображенный на рис.11.
Решение. 1. Пусть кривая АВ задана уравнением . Тогда, получаем
.
2
.
3
Рис.11
.
Для отрезка СВ имеем ,и, поэтому
.
Следовательно,
.
Таким образом, . Этот результат не случаен. Далее будет доказано, что значение данного интегралане зависит от кривой, соединяющей точкиА и В.
Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл второго рода , где– окружность.
Решение. Запишем параметрическое уравнение данной окружности: ,,. Так как,, то
.