10.6. Контрольные вопросы

1. Сформулируйте понятия скалярного и векторного полей. Приведите примеры.

2. Что называется векторной линией поля? Какими уравнениями описывается векторные линии?

3. Как вычисляется работа векторного поля? Что называется циркуляцией?

4. Какое векторное поле называется потенциальным? Что такое потенциал?

5. Когда работа не зависит от пути, соединяющего две точки? Как найти потенциал?

6. Что называется ротором векторного поля? Что характеризует ротор?

7. Сормулируйте теорему о вычислении ротора в декартовой системе координат.

8. Как вводится положительное направление обхода контура, согласованное с ориентацией поверхности, ограниченной этим контуром?

9. Напишите формулу Стокса и сформулируйте условия, при которых эта формула верна.

10. Что означает утверждение: криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования?

11. Что означает утверждение: выражение является полным дифференциалом в области?

12. Что называется потоком векторного поля? Как вычисляется поток?

13. Дайте определение дивергенции векторного поля. Каков физический смысл дивергенции?

14. Какое векторное поле называется безвихревым? Приведите примеры безвихревых полей.

15. Какое векторное поле называется соленоидальным? Приведите примеры соленоидальных полей.

16. Что такое скалярный потенциал; векторный потенциал?

17. Что такое оператор Гамильтона? Запишите с помощью оператора Гамильтона: а) градиент скалярного поля; б) дивергенцию векторного поля; в) ротор векторного поля.

10.7. Задания для самостоятельной работы

1. Найдите работу силового поля , когда точка массыописывает окружность,, двигаясь по ходу часовой стрелки.

2. Поле образовано силой . Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами , .

Найдите работу силы при перемещении вдоль линии от точкик точке.

3. , где – отрезок,,.

4., .

5. ,

.

6. , .

Найдите циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура(в направлении, соответствующем возрастанию параметра).

7. , .

8. ,

.

9. , .

10. Вычислите поток векторного поля через верхнюю сторону круга, вырезаемого конусомиз плоскости,.

11. Вычислите поток векторного поля через треугольникABC с вершинами в точках ,,(нормаль образует с осьюОх острый угол).

12. Вычислите поток векторного поля через боковую поверхность кругового цилиндра, ограниченную плоскостями,,.

13. Вычислите поток векторного поля через полную поверхность конуса, ограниченную плоскостью,.

Вычислите поток векторного поля через замкнутую поверхность(нормаль внешняя). Проверьте результат с помощью формулы Остроградского- Гаусса.

14. , .

15. , .

16. , .

17. , .

Достраивая подходящим образом заданные незамкнутые кривые до замкнутых и пользуясь теоремой Гаусса-Остроградского, вычислите потоки векторных полей через указанные поверхности (к замкнутой поверхности берем внешнюю нормаль).

18. , .

19. , .

20. , .

Вычислите циркуляцию векторного поля по замкнутому контуру. Проверьте результат при помощи формулы Стокса.

21. , .

22. , ,.

23. , где – линия пересечения плоскостис координатными плоскостями,,.

24. Найдите дивергенцию векторного поля , где– постоянный вектор, а.

25. При какой функции дивергенция векторного поля будет равна ?

26. Найдите , где, а .

27. Найдите функцию , для которой выполняется равенство.

28. Какова должна быть функция , чтобы ротор векторного поля совпал с вектором ?

29. Найдите ротор .

30. Найдите ротор .

31. Найдите ротор .

Докажите, что следующие векторные поля являются потенциальными, и найдите их потенциалы.

32. .

33. .

34. .