- •Глава 10. Элементы векторного анализа
- •10.1. Скалярные и векторные поля
- •10.2. Работа векторного поля. Циркуляция
- •10.3. Потенциальное векторное поле
- •10.4. Ротор векторного поля
- •10.4. Поток и дивергенция векторного поля
- •10.5. Соленоидальные векторные поля
- •10.6. Контрольные вопросы
- •10.7. Задания для самостоятельной работы
10.2. Работа векторного поля. Циркуляция
Дадим физическую интерпретацию криволинейного интеграла второго рода. Если в некоторой области задано непрерывное силовое поле, то при перемещении материальной точки вдоль гладкой ориентированной кривойL поле совершает некоторую работу А. Для её определения разобьём линию L на дуг точками,, …,(рис. 16). Пустьпроизвольная точка дуги. Обозначим– единичный вектор касательнойL в этой точке и – длину дуги.
Р
Рис.5
За работу А на всей кривой L естественно принять предел
.
Если этот предел существует, то он является криволинейным интегралом I рода от скалярной функции , т.е. это криволинейный интегралII рода. Таким образом, работа А по перемещению материальной точки в непрерывном силовом поле выражается криволинейным интегралом II рода:
. (2)
Покажем, что работа поля вдоль любой векторной линии этого поля отлична от нуля. ПустьL – векторная линия, тогда векторпараллелен. Тогда скалярное произведение, тогда, причём кривая может быть замкнутой.
Определение 1. Работа векторного поля вдоль замкнутой кривойL называется циркуляцией этого поля:
.
Ф
Рис.6
Ф
Пример 2. Вычислить циркуляцию векторного поля вдоль замкнутого контура, являющегося границей части сферы, расположенной в первом октанте:,,, причем направление обхода контура таково, что в плоскостиОху движение происходит от точки к.
Решение. Контур состоит из трех кривых, каждая из которых является дугой единичной окружности, лежащей соответственно в координатной плоскостиОху, Оуz, Oxz. Поэтому ,
.
Найдем интеграл по кривой. Так как криваялежит в плоскостиОху, то ,и, где,,. Запишем параметрическое уравнение:,,. Получаем
.
Точно так же вычисляются интегралы и. При этом. Следовательно,.
10.3. Потенциальное векторное поле
Определение 2. Векторное поле называетсяпотенциальным в области , если существует такое скалярное поле, что для всех точек этой области вектор-функцияявляется градиентом этого скалярного поля:
.
Скалярное поле называетсяпотенциалом векторного поля . Потенциальное поле является одним из наиболее простых полей, так как определяется одной скалярной функцией, в то время как произвольное векторное поле – тремя скалярными функциями.
Теорема 1. Если поле потенциально, то его потенциал определяется однозначно с точностью до произвольного постоянного слагаемого.
Пусть поле имеет два потенциалаи, т.е.и. Тогдаи, следовательно,. Таким образом, получаем, что.<
Теорема 2. Если поле потенциально в областиV, то работа этого поля (криволинейный интеграл второго рода) не зависит от формы пути, соединяющий две любые точки из V. Потенциал с точностью до произвольной постоянной определяется криволинейным интегралом второго рода, взятому по произвольной кривой, соединяющей точкии, где– фиксированная точка, а– текущая точка.
Работа А поля по некоторому путиL, соединяющему точки и, вычисляется по формуле (11):
.
Поле потенциально, тогда существует потенциал, причем. Тогда скалярное произведение
,
Для простоты преобразований пусть плоская кривая, заданная параметрическими уравнениями,,, причем начало в точке, которой соответствует значение параметра, а конечной точкисоответствует значение параметра, т.е.,. Тогда
=
.
Т.е потенциал определяется по формуле
(3)
Откуда следует, что работа не зависит от формы пути, а зависит от положения начальной и конечнойточек.<
Задача отыскания потенциала полятесно связано с задачей восстановления функции трёх переменных по её полному дифференциалу.
Теорема 3. Пусть векторное поле задано функцией , которая непрерывно дифференцируема в области. Для того, чтобы выражение
(4)
было полным дифференциалом некоторой функции , необходимо и достаточно, чтобы полебыло потенциальным.
Необходимость. Пусть (4) есть полный дифференциал , то с одной стороны по определению, а с другой стороны, откуда. Т.е., а, следовательно,– потенциальное поле.
Достаточность. Пусть – потенциально, тогда существует функция, такая, что. По определению градиента,,, тогда получаем.<
Для того, чтобы найти функцию по её полному дифференциалу необходимо применить формулу (3), т.е. с точностью до произвольного постоянного слагаемого вычислить криволинейный интеграл по любой кривой, соединяющей две точкии т.е.
.
Теперь естественно возникает вопрос: когда, при каких условиях векторное поле является потенциальным?
Теорема 4. Для того чтобы работа векторного поля не зависела от формы пути, соединяющего две точки в области, необходимо и достаточно, чтобы циркуляция по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, была равна нулю.
Необходимость. Пусть работа не зависит от пути. Возьмём контур (рис. 10.18).
Рис.7
Рис.18
Достаточность. Пусть , тогда . Получаем
,
т.е. работа не зависит от пути.