- •Глава 10. Элементы векторного анализа
- •10.1. Скалярные и векторные поля
- •10.2. Работа векторного поля. Циркуляция
- •10.3. Потенциальное векторное поле
- •10.4. Ротор векторного поля
- •10.4. Поток и дивергенция векторного поля
- •10.5. Соленоидальные векторные поля
- •10.6. Контрольные вопросы
- •10.7. Задания для самостоятельной работы
10.4. Ротор векторного поля
Понятие ротора и его вычисление. С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора или вихря. Циркуляция характеризует вращательную способность или завихрённость поля вдоль некоторого контура, а локальной характеристикой поля является ротор.
Р
Рис.38
Рис.8
(5)
Если этот предел существует, то он даёт величину завихрённости поля в точке .
Определение 3. Ротором векторного поля в точкеназывается вектор, проекция которого на направлениеравна пределу отношения циркуляции векторного поля по плоскому контуру, перпендикулярному этому направлению, к величине площади, охваченной контуром, когдастягивается в точку.
. (6)
Заметим, что данное определение не зависит от выбора системы координат, т.е. оно инвариантно.
Получим формулу вычисления в декартовой системе координат.
Теорема5. Пусть в каждой точке задано непрерывно дифференцируемое поле. Тогда в точкесуществует ,вычисляемый по формуле:
. (7)
.
Применим к двойному интегралу теорему о среднем:
Рис.9
и подставим последнее в (6):
Аналогично вычисляем проекции на орты и.<
Вектор символически записывается следующим образом:
,
где – оператор Гамильтона.
Легко доказать следующие свойства :
.
.
.
Пример 3. Найти ротор поля скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью .
Решение. Найдём сначала линейную скорость . Из курса физики известно, что .
.
Тогда
;
.
Таким образом, , характеризуя «вращательную компоненту» поля скоростей, равен удвоенной скорости вращения.
Пример 4. Найти .
Решение.
.
.
Следовательно, вектор параллелен вектору.
С помощью можно обобщить формулу Грина на пространственный случай. Таким обобщением является формула Стокса, которая связывает циркуляцию векторного поля с потоком ротора через поверхность, натянутую на этот контур. При этом говорят, что поверхность можно натянуть на контур, если существует кусочно-гладкая ориентированная поверхность, лежащая в областиV и имеющая своей границей.
Трехмерную область V будем называть поверхностно-односвязанной, если на любой контур можно натянуть поверхность, целиком лежащую в V. Примеры поверхностно неодносвязной области – шар, через который проходит цилиндрический туннель.
П
Рис.40
Рис.10
Теорема 6.(Стокс) Пусть V - поверхностно-односвязаная область, - кусочно-гладкий контур в V и - кусочно-гладкая поверхность, натянутая на и лежащая в V. Пусть в области V задано векторное поле , непрерывное и дифференцируемое в во всех точках области итакже непрерывен в V. Тогда циркуляция поля по контуру равна потоку ротора через , т.е. справедлива формула Стокса
, (8)
причём направление обхода и ориентациясогласованы.
Разобьём поверхность наn частей , ограниченных контурами,. Рассмотримi-й элемент поверхности. Возьмём произвольную точку и проведём через неё нормаль и касательную плоскость к . Обозначим через проекцию контура,– площадь поверхности, а через– площадь проекциина . Из определения ротора следует равенство
.
При достаточно мелком разбиении это равенство будет справедливо для контура поверхности, т.е.
.
Суммируя последнее равенство по всем , получим
. (9)
П
Рис.11
.
Суммируя контурные интегралы по всем i, получаем интеграл по общему контуру, т.е. . Тогда (9) принимает вид
.
Сумма в правой части является интегральной для поверхностного интеграла . Переходя здесь к пределу при, получим формулу Стокса (8).<
Замечание. Из формулы Стокса следует, что если и– две поверхности, натянутые на контур, то потоки полячерез них равны.
Теорема 7. (необходимое и достаточное условие потенциальности векторного поля) Для того, чтобы непрерывно дифференцируемое векторное поле было потенциальным в поверхностно-односвязанной области V необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым, т.е. .
Необходимость. Пусть поле потенциально, тогда существует его потенциал, т.е.. Получаем
.
Достаточность. Пусть поле безвихревое поле, т.е.для любой точки. Так как областьV поверхностно-односвязная, то по теореме Стокса для произвольного контура существует интеграл, который не зависит от пути интегрирования, т.е. кривой, соединяющей точкии. Если точказафиксирована, то интеграл является функцией. Обозначим её
.
Покажем, что . Так как интеграл не зависит от формы пути интегрирования, то
, т.к. .
В качестве пути интегрирования взят отрезок, параллельный оси Ох, согласно определению производной, теоремы о среднем, а также в силу непрерывности , получаем
.
Аналогично показывается, что и, следовательно.<
Пример 5. Показать, что поле потенциально и найти его потенциал.
Решение.
.
Так как , то полепотенциально. Найдем потенциалполя.
Фиксируем точку , рассмотрим произвольную точку. Тогда.
Л
Рис.12
.