Лабораторная работа 1,2

Быстрое преобразование Фурье

1. Цель занятия

   1. Исследование алгоритма быстрого преобразования Фурье.

2. Литература

   1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. Пособие для вузов. 2-е изд. – Спб.: Питер, 2006

   2. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер; пер. с англ. С.А. Куклешова, под ред. А. Б. Сергиенко. – 2-е изд. Испр. – М.: Техносфера, 2009

   3. Солонина А. И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в Matlab: учеб. Пособие для вузов / А. И. Солонина, С. М. Арбузов. – Спб.: БХВ – Петербург, 2008

3. Подготовка к работе

   1. Изучить теорию БПФ по книгам, представленным в списке литературы.

4. Основное оборудование

   1. Персональный компьютер

   2. Система математических вычислений: MathCAD, Mathematica или MatLAB.

5. Содержание отчета

   1. Титульный лист.

   2. Значения временной последовательности.

   3. Блок-схема работы алгоритма.

   4. Таблица с пронумерованными операциями расчёта БПФ.

   5. Сравнение значений ДПФ и БПФ.

   6. Сравнение значений количества операций для расчёта ДПФ и БПФ.

   7. Выводы.

6. Теоретическая часть

   1. ДПФ последовательности вычисляется по формуле (1.1)

      (1.1)

   2. Алгоритм вычисления БПФ

БПФ с прореживанием по времени

Если в формуле ДПФ (1.1) число N чётное, то её можно преобразовать в формулу (1.2):

(1.2)

Т.е. вычисление ДПФ через исходную последовательность можно

преобразовать в вычисление ДПФ через две последовательности:

(1.3)

Т.е. спектр исходной последовательности можно составить из двух спектров:

(1.4)

Формула (1.4) справедлива только при 0 <= N <= N/2. Чтобы использовать её на интервале N/2 < N <= N нужно доопределить спектры Y(n) и Z(n):

(1.5)

Если спектры Y(n) и Z(n) состоят из чётного количества отсчётов (т.е. число N/2 – чётное), то их можно тоже вычислить по данному алгоритму и т.д.

БПФ с прореживанием по частоте

Если в формуле ДПФ (1.1) число N чётное, то её можно преобразовать в формулу (1.6):

(1.6)

Т.е. чётные и нечётные отсчеты спектра X(n) можно вычислять по формулам (1.7) и (1.8):

(1.7)

(1.8)

Формулы (1.7) и (1.8) представляют собой ДПФ последовательностей:

	(1.9)
	(1.10)

А значит, если они состоят из чётного количества отсчётов (т.е. число N/2 – чётное), то их спектры можно тоже вычислить по данному алгоритму и т. д.

7. Варианты заданий

Временная последовательность отсчётов должна быть длиной N = 16, отсчёты – вещественными. Значения отсчётов выбираются произвольно.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3,4

Проектирование цифрового фильтра методом билинейного преобразования

2. 1. Цель занятия

      1. Исследование методику проектирования цифрового фильтра методом билинейного преобразования.

2. Литература

   1. Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов: учеб. Пособие для вузов. 2-е изд. – Спб.: Питер, 2006

   2. Оппенгейм А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер; пер. с англ. С.А. Куклешова, под ред. А. Б. Сергиенко. – 2-е изд. Испр. – М.: Техносфера, 2009

   3. Солонина А. И. Цифровая обработка сигналов. Моделирование в Matlab: учеб. Пособие для вузов / А. И. Солонина, С. М. Арбузов. – Спб.: БХВ – Петербург, 2008

3. Подготовка к работе

   1. Изучить теорию билинейного преобразования по книгам, представленным в списке литературы.

4. Основное оборудование

   1. Персональный компьютер.

   2. Система математических вычислений: MathCAD, Mathematica или MatLAB.

5. Содержание отчета

   1. Титульный лист.

   2. Вариант задания.

   3. Передаточная характеристика и АЧХ аналогового прототипа.

   4. Расчёт билинейного преобразования.

   5. Передаточная характеристика, АЧХ и структурная схема цифрового фильтра.

   6. Выводы.

6. Теоретическая часть

   1. Расчёт параметров АЧХ аналогового фильтра с учётом билинейного преобразования.

Билинейное преобразование искажает шкалу частот. Это нужно учитвать с самого начала, чтобы спроектировать такой аналоговый фильтр, который непосредственно после самого билинейного преобразования даст нужный цифровой фильтр. Учесть искажение можно с помощью формулы:

(2.1)

где – интервал дискретизации,шкала частот аналогового фильтра,

нормированная шкала частот цифрового фильтра.

2. Расчёт передаточной характеристики H(s) аналогового фильтра требуемого типа.

После расчета частот аналогового фильтра по формуле (2.1) необходимо найти передаточную характеристику H(s), которая будет соответствовать

этим частотам.

3. Расчёт передаточноё характеристики H(z) цифрового фильтра с помощью билинейного преобразования.

Билинейное преобразование определяется формулой:

(2.2)

интервал дискретизации. H(z)$ находится подстановкой формулы (2.2) в передаточную характеристику H(s) аналогового фильтра.