эконом_матем_модели

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

по предмету

«Экономико-математические модели»

Вариант № 1

Выполнил: слушатель

Проверил: Преподаватель Облаухова М.В.

2012

Содержание

Задача 1…………………………………………………………………….3

Задача 2………………………………………………………………….…4

Задача 3………………………………………………………….…………5

Задача 4………………………………………………………….…………7

Задача №1

Дано:

Функция полезности потребителя имеет вид:

Запишите задачу потребителя и на ее основе алгебраически постройте уравнения функций спроса Маршалла.

Решение.

Задача потребителя для данной функции полезности имеет вид:

,

p₁ x₁ + p₂x₂ = M.

Для решения задачи воспользуемся методом Лагранжа. Построим функцию Лагранжа L(x₁, x₂, ) = U(x₁, x₂) + (M – p₁x₁ – p₂x₂), и найдем для нее точку безусловного максимума.

Получаем

Отсюда

Подставляя полученное значение в p₁ x₁ + p₂x₂ = M, получим функцию спроса Маршалла на первый товар:

Заменяя в х­₁ на , получим функцию спроса Маршалла на второй товар:

Задача №2

Дано:

Функция потребления: C = 0,8Y + 40.

Спрос предпринимателей на инвестиции: I=300–40i.

Государственные закупки на рынке благ: G = 60.

Определить:

Уравнение линии IS.

Решение

Линия IS— совокупность сочетаний у, i, соответствующих равновесию на рынке благ, выводится из равенства

y = C + I+ G;

у = 40 + 0,8у +300 - 40 i + 60 => у = 50i – 450

Задача №3

Дано:

В обращении находится 50 ден.ед., скорость их обращения – V = 10 оборотов за период.

Реальный спрос на деньги как имущество: lим = 60 /i.

Спрос на деньги по мотиву предосторожности равен нулю.

Объем сбережений равен 30% реального дохода: S = 0,3Y.

Частные инвестиции: I = 30 + 15/i.

Определить:

Какой уровень цен обеспечивает совместное равновесие на рынках благ и денег, если величина эффективного спроса равна 150?

Решение

Запишем условия совместного равновесия на рынке благ и денег.

Условие равновесия на рынке благ без участия в экономике государства:

Y=C+I. Так как С=Y–S, то условие равновесия на рынке благ можно записать следующим образом:

I=S. Подставляя данные из условий задачи, получим: 0,3Y=30+15/i.

Условие равновесия на рынке денег:

M/P=lсд+lпр+lим.

Подставляя данные из условий задачи, получим: 50/Р=0,1Y+60/i.

Тогда условие совместного равновесия на рынке благ и денег представлено системой уравнений:

0,3Y=30+15/i

50/Р=0,1Y+60/i

Подставляя в эти уравнения известную из условий задачи величину эффективного спроса Y=150, получим систему из двух уравнений с двумя переменными.

Решив ее, найдем равновесную величину ставки процента и соответствующий совместному равновесию уровень цен: i=1, P=0,67.

Задача №4

Дано:

Функции, определяющие поведение экономических субъектов на рынках благ:

St = 0,3Yt-1 – 80.

It = 0,8(Yt-1 - Yt-2).

Ia = 100.

До периода t0 на рынке благ существовало долгосрочное динамическое равновесие.

В периоде t1 предприниматели увеличили автономные инвестиции на 50 ед., а с периода t2 вернулись к их исходному объему.

Определить:

• Величину национального дохода в условиях долгосрочного динамического равновесия.

• Динамику национального дохода за три года (t1, t2, t3)

Решение

Запишем условие динамического равновесия на рынке благ: Yt=cYt-1+k(Yt-1-Yt-2)+At, где At=Cat+Ia,t+Gt – величина автономного спроса. В условиях задачи:

Ct = Yt-1 – St = Yt – (0,3Yt-1 – 80) = 0,7Yt-1 + 80.

Cat = 80, Ia,t = 100, At = 80 + 100 = 180.

Yt = cYt-1 + k(Yt-1 - Yt-2) + At = 0,7Yt-1 + 0,8(Yt-1 - Yt-2) + 180.

Долгосрочное динамическое равновесие означает, что в течение ряда предшествующих периодов объем национального дохода стабилизируется на определенном уровне , т.е. Yt=Yt-1=Yt-2=…=Yt-n=. В этом случае величина национального дохода в условиях долгосрочного динамического равновесия определяется как:

=A/(1-c)=180/(1-0,7)=600.

Таким образом, до периода t0 включительно национальный доход составлял 600 единиц. В периоде t1 предприниматели увеличили автономные инвестиции на 50 ед., следовательно, существовавшее равновесие было нарушено. Для изучения динамики национального дохода в последующие периоды воспользуемся условием равновесия на рынке благ:

Yt=0,7Yt-1+ 0,8(Yt-1-Yt-2)+180, учитывая происходящие изменения в объеме автономных инвестиций.

В периоде t1 национальный доход составит:

Yt1=0,7Yt0+ 0,8(Yt0–Yt-1)+(180+50)=0,7*600+0,25(600–600)+230=650

В периоде t2 предприниматели вернутся к прежнему уровню инвестиций. Следовательно, национальный доход составит:

Yt2=0,7Yt1+ 0,8(Yt1–Y t0)+180=0,7*650+0,8(650–600)+180=675.

В периоде t3 национальный доход составит:

Yt3=0,7Yt2+0,8(Yt2–Yt1)+180=0,7*675+0,8(675–650)+180=672,5.