3.2. Формирование передаточной функции.

Учитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соеди­ненных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид:

Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет:

(3.7)

Коэффициенты в числителе могут иметь одинаковую величину и рассчитываться по формуле,

Коэффициенты в знаменателе (4.2) находятся по формулам:

(3.7)

где – значение полюсов (3.2).

Например,

;

Значения всех рассчитанных коэффициентов сведены в таблицу 3.2.

Таблица 3.2

Номер сомножителя	Значения коэффициентов
	ai1	bi1	bi0
1 2 3	15,4271104 15,4271104 15,4271104	7,3102104 4,3012104 3,0088104	379414619762 542436751757 265386435905

Подставляя найденные коэффициенты в 3.3 получим:

(3.7)

3.3. Расчет элементов схемы фильтра.

В качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рис. 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей [1], можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рис. 3.1, в виде

Рисунок 3.1

(3.7)

Из (3.6) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.5) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчет элементов этих схем R₁; R₂; С₃; С₄; R₅ ведется путем сравнения идентичных коэффициентов в формулах (3.5) и (3.6).

Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.5):

(3.7)

В системе (3.7) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Для решения этой системы задам значения емкостей конденсаторов С₁ и С₂.

Если принять С₁ = С₂ = 2 нФ, тогда:

Принимаю: R₁ = 3,241 кОм, R₅ = 13,68 кОм, R₂ = 49,038 Ом.

Составляю аналогичную систему для второго звена при тех же С₁ = = С₂ = 2 нФ, :

Принимаю: R₁ = 3,241 кОм, R₅ = 23,25 кОм, R₂ = 19,945 Ом.

Аналогично для третьего звена:

Принимаю: R₁ = 3,241 кОм, R₅ = 33,24 кОм, R₂ = 28,59 Ом.

4. Проверка результатов расчета.

Проверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график H(f) или А(f) всей схемы фильтра и анализируется, насколько хорошо этот график соответствует исходных требованиям по ослаблению в ПП и в ПН. Конечно, второй вариант для разработчика предпочтительнее.

При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.12) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.6). Очевидно, что Н(р) всего фильтра будет

(4.1)

где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчетов.

С этой целью в (3.6) произвожу замену переменной вида р = j, в результате чего получаю выражение,

Находится модуль H(j) в виде

(4.2)

Зная H(), легко найти зависимость ослабления от частоты вначале каждого звена, а затем всего фильтра:

(4.3)

где

(4.4)

Произвожу расчет первого звена фильтра.

Из раздела 3.3. беру значения элементов:

С₁ = С₂ = 2 нФ, R₁ = 3,241 кОм, R₂ = 49,038 Ом, R₅ = 13,68 кОм.

Подставляем эти значения в (4.2)

На частоте границы ПП f_п2 = 119,482 кГц определяю Н₁(_п2) = 0,601.

На частоте границы ПН f_з2 = 125,976 кГц определяю Н₁(_з2) = 0,48.

На частоте f_п1 = 80,518 кГц Н₁(_п1)= 0,609.

На частоте f_з1 = 76,367 кГц. Н₁(_з2)= 0,486.

Аналогичные расчеты выполняю для второго и третьего звеньев.

С₁ = С₂ = 2 нФ, R₁ = 3,241 кОм, R₂ = 19,945 Ом, R₅ = 23,25 кОм.

На частоте границы ПП f_п2 = 119,482 кГц определяю Н₂(_п2) = 3,024.

На частоте границы ПН f_з2 = 125,976 кГц определяю Н₂(_з2) = 1,354.

На частоте f_п1 = 80,518 кГц Н₂(_п1)= 0,271.

На частоте f_з1 = 76,367 кГц. Н₁(_з2)= 0,236.

С₁ = С₂ = 2 нФ, R₁ = 3,241 кОм, R₂ = 28,59 Ом, R₅ = 33,24 кОм.

На частоте границы ПП f_п2 = 119,482 кГц определяю Н₁(_п2) = 0,388.

На частоте границы ПН f_з2 = 125,976 кГц определяю Н₁(_з2) = 0,338.

На частоте f_п1 = 80,518 кГц Н₁(_п1)= 4,324.

На частоте f_з1 = 76,367 кГц. Н₁(_з2)= 1,936.

Ослабления рассчитываются по формулам (4.3) и (4.4).

Для первого звена:

На частоте f_з1 = 76,367 кГц

На частоте f_п1 = 80,518 кГц

На частоте f_з2 = 125,976 кГц

На частоте f_п2 = 119,482 кГц

Аналогично рассчитываю ослабления для второго и третьего звеньев

Все результаты сводятся в таблицу 4.1.

Таблица 5.1

f, кГц	fз1	fп1	fп2	fз2
	76,367	80,518	119,482	125,976
Н1() Н2() Н3()	0.486 0.236 1.936	0.609 0.271 4.324	0.601 3.024 0.388	0.48 1.354 0.338
Н()	0.222	0.714	0.705	0.22
А1(), дБ А2(), дБ А3(), дБ	6.267 12.542 -5.738	4.308 11.341 -12.718	4.423 -9.612 8.223	6.375 -2.632 9.422
А(), дБ	13.073	2.926	3.036	13.152

На рис. 4.1 приведена ожидаемая теоретическая кривая зависимости ослабления фильтра от частоты. На рис. 4.2 приведена принципиальная схема активного полосового фильтра.

R₁, R₂, R₅ – сопротивления 1-го звена

R₁,R₂,R₅– сопротивления 2-го звена

R₁,R₂,R₅– сопротивления 3-го звена

Рисунок 4.2

Рисунок 4.1