L03-Динамика, законы сохранения
.pdfЛекция 03
Глава 3. Законы сохранения
§ 19. Понятие об интегралах движения |
|
al |
||
§ 20. Кинетическая энергия |
|
|
||
|
i |
|||
§ 21. Работа и мощность |
|
|||
|
|
|
||
§ 22. Консервативные силы |
n |
|
||
§ 23. Потенциальная энергия во внешнемtполе сил |
||||
|
|
de |
|
|
§ 24. Потенциальная энергия взаимодействия |
||||
§ 25. Закон сохранения энергии |
|
|
|
|
§ 26. Энергия упругой деформации |
|
|
||
|
f |
|
|
|
§ 27. Условия равновесия механическойi |
системы |
|||
§ 28. Закон сохранения количества движения |
|
|||
(импульса) |
C |
|
|
|
§ 29. Центральный удар шаров |
|
|
|
|
§ 30. Закон сохранения моментаon |
импульса |
|
||
pan |
|
|
|
|
§ 19. Понятиеyоб интегралах движения |
|
Тела, образующие механическую систему, могут
взаимодействовать между собой и с телами из другой системыm. Поэтому все силы делятся на внутренние и oвнешние. Если внешние силы отсутствуют, то
система называется замкнутой.
CДля замкнутых систем существуют функции координат и скоростей частиц, образующих систему,
которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции - интегралы движения.
Причем представляют интерес только обладающие
свойством аддитивности: значение интеграла движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.
Аддитивных |
интегралов три: неизменны |
|
al |
||||
энергия, |
|||||||
импульс |
и |
момент |
|
|
i |
||
импульса. Им соответствуют |
|||||||
законы сохранения этих величин. |
t |
||||||
n |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
de |
|
|
В основе сохранения энергии лежит однородность |
|||||||
времени: замена момента времени |
другим моментом |
||||||
без изменения координат и скоростей тел не изменяет |
|||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
механические свойства системы.i |
|
|
|||||
В основе сохранения импульса лежит однородность |
|||||||
|
|
|
C |
|
|
|
|
пространства: одинаковость свойств пространства во |
|||||||
всех точках. |
y |
on |
|
|
|
||
В основе сохранения момента импульса лежит |
|||||||
изотропия пространства: одинаковость свойств |
|||||||
пространства по всем направлениям. |
|
|
|||||
Законы |
сохранения |
позволяют |
решать |
|
задачу |
||
|
m |
|
|
|
|
|
|
движения тел тогда, когда точное решение уравнений |
|||||||
движенияpanслишком сложное или когда неизвестны |
|||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
силы. |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
законы сохранения исходя из уравнений |
|||||
Получим |
Ньютона.
|
|
|
|
|
§ 20. Кинетическая энергия |
|
|||||||
Под действием силы F на покоящееся тело возникает |
|||||||||||||
F = m dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ial |
|||
его движение со скоростью v. Второй закон Ньютона |
|||||||||||||
гласит |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
||||
Умножим обе части равенства на перемещение ds = |
|||||||||||||
vdt, получим |
|
|
i mυ2 |
|
|||||||||
|
dv |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
onmmυ |
2 |
|
|
|
) = Fds |
|||
|
mυ |
|
|
|
p2 |
||||||||
m dt ds = Fds |
и mvv&dt |
= mfvdv = d( |
2 |
||||||||||
Если система |
замкнута, |
|
т.е. |
F = 0 |
и тогда |
||||||||
T = |
|
|
|
|
= const или T = |
|
|
= |
|
|
= const |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
y |
|
2m |
|
|
|
2m |
|
|||
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
pan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Это интеграл движения – кинетическая энергия |
|||||||||||||
частицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Видно, что кинетическая энергия зависит только от массыmи скорости тела, т. е. кинетическая энергия oсистемы есть функция состояния ее движения. Здесь мы предполагали, что движение рассматривается в Cинерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким
образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.
Если на частицу действует сила F , то кинетическая энергия не остается постоянной. Ее приращение
|
d(mυ2 ) = Fds |
называется |
работой |
Fds = dA |
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
i |
||
|
совершаемой силой |
|
|
на пути ds. |
||||||||||||
|
|
|
|
Работаal |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|||
|
характеризует изменение кинетической энергии, |
|||||||||||||||
|
обусловленное действием силы на движущуюсяn |
|||||||||||||||
|
частицу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
Интегрирование |
|
|
равенства |
di( de) = Fds |
вдоль |
||||||||||
|
|
|
f2 |
|
|
|||||||||||
|
траектории 1-2 дает: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
d(mυ |
2 ) = |
2 |
|
|
|
mυ |
22 |
− mυ |
21 = T −T = A = |
2 |
||||
|
ò |
ò |
Fds = |
F ds |
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
on 2 1 |
12 |
|
ò s |
||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
Это работа силы F на пути 1-2. |
|
|
|
||||||||||||
|
Т.о. работа результирующих всех сил, действующих |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
на частицу, идет на приращение кинетической |
|
||||||||||||||
|
энергии частицы |
|
A12 = T2 −T1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
pan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
m |
|
§ 21. Работа и мощность |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Изменение механического движения тела вызывается |
|||||||||||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C |
силами, действующими на него со стороны других |
|||||||||||||||
тел. Чтобы количественно характеризовать процесс |
||||||||||||||||
обмена |
энергией |
между |
взаимодействующими |
|||||||||||||
|
телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.
|
Если тело движется прямолинейно и на него |
|||||||
|
действует постоянная сила F, составляющая |
|||||||
|
некоторый угол α с направлением перемещения, то |
|||||||
|
работа этой силы равна произведению проекции |
|||||||
|
силы Fs на направление перемещения, умноженной на |
|||||||
|
перемещение точки приложения силы: |
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dА = Fsds = Fds cos α |
|
|
|
al |
|||
|
|
t(11.1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
где α – угол между направлением силы и |
|||||||
|
направлением перемещения точки приложения силы. |
|||||||
|
Если α – острый, то работа положительнаi |
, сели α – |
||||||
|
|
|
|
|
de |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
тупой, то – отрицательна. При α = π/2 работа равна |
|||||||
|
«0». Работа держащего груз неподвижно равно нулю ! |
|||||||
|
В общем случае сила можетon |
изменяться как по |
||||||
|
модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу |
|||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
переменной силы, пройденный путь разбивают на |
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
большое число достаточно малых элементов, чтобы |
|||||||
|
их можно было считать прямолинейными, а |
|||||||
|
действующую силу в любой точке данного элемента |
|||||||
|
— постоянной. |
|
|
|
|
|||
|
|
pan |
|
|
|
|
||
|
|
Fi |
|
|
|
|
|
|
|
mαi |
Fsi |
vi |
|
|
|
|
|
o |
dsi |
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(см. рис.)
а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:
|
|
|
|
|
N |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
A = òFsi dsi = òFi dsi cosαi |
|
|||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
M |
|
|
Для вычисления этого интеграла надо знать |
i |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
зависимость Fs от s вдоль траектории МN. Если эта |
||||||||||
зависимость представлена графически (рис.) , тоal |
||||||||||
искомая работа А определяется заштрихованной на |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
графике площадью. |
|
|
|
n |
||||||
|
|
|
|
dA |
|
|
|
i |
|
|
Fs |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
on |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
ds |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. |
|
|
|
|
|
|
|||
pan |
|
|
|
|
|
|||||
Если тело движется прямолинейно, сила F = const и α |
||||||||||
= const, то получим |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
||
A = òFdscosα = Fcosαòds = Fscosα , |
||||||||||
m |
|
M |
|
|
|
M |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
где s — пройденный телом путь. |
|
|
||||||||
C |
|
|
|
|
|
|
|
джоуль (Дж):1 Дж - работа, |
||
oЕдиница работы — |
|
|
совершаемая силой в 1 Н на пути в 1 м.
Найдем работу, совершаемую при деформации пружины подчиняющейся закону Гука.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
de |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
Растяжение и сжатие пружины выполняем медленно, |
|||||||||||||
тогда внешняя сила равна упругой и они равны F=-kx, |
|||||||||||||
где x – удлинение пружиныon. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A = |
kx2 |
C |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
l |
|
2 |
|
|
|
||||
|
pan2l |
2 |
|
|
|
|
|||||||
Тогда работа |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Аналогично находится выражение для работы, |
|||||||||||||
совершаемой при упругом растяжении или сжатии |
|||||||||||||
стержня |
A = |
ES |
( l)2 = |
ESl0 |
( l )2 |
= |
EV |
ε 2 |
|
||||
|
|
|
|
||||||||||
o |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
mV = Sl |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
||||
– |
объем |
стержня |
и |
ε = |
- его |
||||||||
C |
|
0 |
|
|
|
||||||||
где |
|
|
|
l0 |
относительное удлинение.
Вслучае действия на тело нескольких сил,
результирующая которых равна |
F = åFi работа на |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
пути ds также представляется в виде суммы |
|
||||||||||||
dA = (åFi )ds = ådAi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
i |
|
Можно работу переписать в виде |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
al |
dA = Fds = Fvdt , тогда |
A = òFvdt |
t |
|||||||||||
n |
|
||||||||||||
Чтобы |
охарактеризовать |
t1 |
скорость |
|
|||||||||
|
|
совершения |
|||||||||||
работы, вводят понятие мощности. Мощность Р есть |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
физическая величина, равная отношениюdeработы ΔА к |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
промежутку времени t, за который она совершена: |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
P = |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
on |
|
|
|
||||
В случае переменной мощности вводится понятие |
|||||||||||||
мгновенной мощностиC: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y P = lim |
|
A |
= dA |
|
|
|||
|
|
|
|
|
t |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
t→0 |
|
dt |
|
|
||
Если мгновенная мощность не постоянна, то формула |
|||||||||||||
P = |
|
A |
среднюю мощность <P>. |
|
|
|
|||||||
|
t |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
pan |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если тело движется с постоянной скоростью v под |
|||||||||||||
действием |
силы F, |
то |
мощность |
может быть |
|||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражена формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
CP = |
A = |
Fs s |
= Fs v |
или |
|
P = F v |
|
|
|||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
т. е. равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела.
Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж
(1 Вт = 1 Дж/с).
§ 22. Консервативные силы
Про частицу в пространстве испытывающей |
|||
воздействие других тел говорят, что она находится в |
|||
|
i |
||
|
|
al |
|
поле сил. Например, сила ее тяжестиt |
в |
||
гравитационном поле Земли равна P = mg |
или сила |
||
n |
|
|
|
Кулона на заряженную частицу в электростатическом |
|||
поле. Эти поля характерны тем, что направление силы |
|||
i |
|
|
|
проходит через неподвижный центрde(Земли или |
|||
f |
|
|
|
заряда создающего электрическое поле) и зависит |
|||
только от расстояния до этого центра F=F(r). Тогда |
такие поля называются центральными. |
|
|
on |
Если в каждой точкеCпространства F=const, то поле |
|
однородно. Если поле не меняется со временем, то |
|
|
y |
оно стационарно. Если поле меняется со временем, |
|
то – нестационарно. |
|
Силы поля, работа которых над частицей не зависит |
|
|
pan |
от траектории движения частицы, называются |
|
консервативными. Для них работа сил по |
|
m |
|
замкнутому пути равна нулю: работа в дальнюю |
|
o |
|
точку имеет знак противоположный знаку работы |
|
Cназад в исходную точку и эти работы по модулю |
|
равны. Прямым вычислением можно доказать, что |
силы действующие на частицу в центральном поле и однородном стационарном поле консервативны.
|
Типичным |
примером |
|
неконсервативной силы |
||||||||
|
является сила трения. Ее направление всегда |
|||||||||||
|
противоположно скорости частицы и поэтому работа |
|||||||||||
|
этой силы всегда отрицательна, накапливается при |
|||||||||||
|
любом движении и никогда не обратится в «0». |
|
||||||||||
|
Поле консервативных сил является частным случаем |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
потенциального силового поля. Поле |
|
al |
|||||||||
|
tназывают |
|||||||||||
|
потенциальным, |
если его можно описать функцией |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
U(x,y,z) так что сила в каждой точке поля равна |
|
||||||||||
|
F=-ÑU(x,y,z) |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь U(x,y,z) – потенциальная энергияdeчастицы. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
§ 23. Потенциальная энергия во внешнем поле сил |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
on |
|
|
|
|
Если работа сил поля определяется начальным и |
|||||||||||
|
конечным |
положениемCчастицы |
(консервативная |
|||||||||
|
сила) |
|
можно, |
введя |
|
функцию |
U, |
записать |
||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|||
|
A12 = U1 −U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Функция U определяет работу, совершаемую над |
|||||||||||
|
частицей консервативными силами на пути 1-2. |
|||||||||||
|
|
pan |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Значит, эта работа идет на повышение кинетической |
|||||||||||
|
m |
T −T = U |
1 |
−U |
2 |
или можно |
переписать |
|||||
|
энергии |
|
2 1 |
|
|
|||||||
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 +U2 = T1 +U1